Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-ax^2-x

求f（x）单调区间

Answer 1

解：∵原函数f（x）=ln（x+1）-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x＞-1
且导函数g(x)=1/（x+1)－2ax－1
＝[1－2ax(x＋1)－(x＋1)]/（x+1)
＝[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
g(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²－﹙2a－1﹚x]/（x+1)
∵（x+1)＞0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²－﹙2a－1﹚x 决定﹙x＞﹣1﹚
Δ=[－﹙2a－1﹚]²－4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0，x2=-﹙2a－1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x＞﹣1内恒小于零，
∴当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
④当a＜0时，x2＜﹣1
∴x (﹣1，0） 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋
f(x) ↓ ↑
∴当a＜0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
⑤当0＜a＜½时，x2＞0
∴x (﹣1，0） 0 (0，x2) x2 (x2，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
⑥ 当a＞½时x1＞x2
∴x (﹣1，x2） x2 (x2，0) 0 (0，﹢∞）
h(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↓ ↑ ↓
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减
∴综上所述：当a≤0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，﹢∞）单调递增。
当a=½时，原函数f(x)为单调递减。
当a0＜a＜½0时，原函数f(x)在(﹣1，0） 单调递减 (0，x2）单调递增(x2，﹢∞）单调递减
当a＞½时原函数f(x)在(﹣1，x2） 单调递减 (x2，0）单调递增(0，﹢∞）单调递减