Question

已知数列{1/n}的前n项和是Sn

(1)分别计算S2-S1,S4-S2的值,并比较S2^n-S2^n-1与1/2的大小 (2)S1+S2+.....+S-1=f(n)Sn-1对于大于1正整数n都成立的f(n)，证明你的结论

Answer 1

(2)S1+S2+.....+S-1=f(n)Sn-1对于大于1正整数n都成立的f(n)，证明你的结论 应为
(2)S1+S2+.....+S-1=f(n)【Sn-1】对于大于1正整数n都成立的f(n)，证明你的结论
（1）S2-S1=1/2,S4-S2=1/3+1/4=7/12,
S2^n-S2^(n-1)=1/(2^(n-1)+1)+1/(2^(n-1)+2)+……+1/2^n≥(1/2^n)×2^(n-1)=1/2当且仅当n=1时，等号成立
（2）当n=2时，有1=f(2)(1+1/2-1)­ 得f(2)=2；当n=3时，有5/2=f(3)(1+1/2+1/3-1)­ 得f(3)=3；由此猜想f(n)=n，(n≥2)
下面用数学归纳当证明：
n=2，3时，上面已证明，猜想正确；
设n=k时，有f(k)=k，即S1+S2+.....+S(k-1)=f(k)(Sk-1)成立，
当n=k+1时，S1+S2+.....+S(k-1)+Sk=k(Sk-1)+Sk=(k+1)Sk-k=(k+1)(Sk+1/(k+1)-1)
=(k+1)(S(k+1)-1)
即n=k+1时，猜想正确
综上所述，存在f(n)=n，使得S1+S2+.....+S-1=f(n)（Sn-1）对于大于1正整数n都成立

Answer 2

？、、、