Question

4维向量α1，α2，α3线性无关，矩阵A=（α1，α2，α3），求矩阵A 的秩？

4维向量α1，α2，α3线性无关，矩阵A=（α1，α2，α3），求矩阵A 的秩？
请写得具体、详细一些！谢谢！
请问为什么三个向量线性无关，所以该矩阵的列秩应该为3？谢谢！

Answer 1

由于三个向量线性无关，所以该矩阵的列秩应该为3，该矩阵又是4*3的矩阵，根据矩阵的行秩等于列秩，我们就很容易知道该矩阵的秩为3

因为我们可以想象，一个矩阵通过初等行变换我们可以把它化为阶梯形，也就是所有为零的行都在最下面，而上面行都含有非零元素，这时矩阵的秩就正好等于阶梯的个数。在这道题目中，由于三个列向量α1，α2，α3线性无关，所以不存在不全为零的系数使得三个向量的线性组合为零向量，也就是通过初等行变换不能让该矩阵的列出现零向量，所以矩阵列满秩。即秩为3

我是学数学的，如果你想彻底搞清楚这部分内容建议你去查阅我们的基础课程《高等代数》

Answer 2

这个题目有意思.
解:
因为α1，α2线性无关，α3=3α1+α2，α4=α1-2α2
所以
r(a)=r(α1,α2,α3,α4)=2.
所以
ax
=
0
的基础解系含
4-2=2
个向量.
由b=α1-α2+α3-α4
知
(1,-1,1,-1)'是ax=b的解.
而
α1-α2+α3-α4
=
α1-α2+(3α1+α2)-α4
=
4α1-α4
所以
(4,0,0,-1)'
是ax=b的解
又
α1-α2+α3-α4
=
α1-α2+α3-(α1-2α2)
=
α2+α3
所以
(0,1,1,0)'
也是ax=b的解
所以
b1=(1,-1,1,-1)'-(4,0,0,-1)'=(-3,-1,1,0)'
b2=(1,-1,1,-1)'-(0,1,1,0)'
=(1,-2,0,-1)'
是
ax=b
的基础解系.
所以方程组的通解为:
(1,-1,1,-1)'+c1(-3,-1,1,0)'+c2(1,-2,0,-1)',
c1,c2为任意常数.
满意请采纳^_^

Answer 3

3个向量线性无关，即不能互相表示，所以组成的矩阵是满秩的，又都是4维的，所以它的秩是4。

Answer 4

矩阵A的秩是3，回答完毕。