Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA垂直底面ABCD,E是SC上的一点,

设SA=4,AB=2求A到平面SBD的距离

Answer 1

∵ABCD是正方形、AB＝2，∴S(△ABD)＝（1/2）AB^2＝（1/2）×4＝2。
∴V(S－ABD)＝（1/3）S(△ABD)×SA＝（1/3）×2×4＝8/3。

取BD的中点为E。
∵ABCD是正方形，∴AB＝AD、BD＝√2AB＝2√2，∴BE＝（1/2）BD＝√2。
∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥AB、SA⊥AD。
∵SA＝SA、AB＝AD、∠SAB＝∠SAD＝90°，∴△SAB≌△SAD，∴SB＝SD，而BE＝DE，
∴SE⊥BE。

由勾股定理，有：SB＝√（SA^2＋AB^2）＝√（16＋4）＝2√5。
再由勾股定理，有：SE＝√（SB^2－BE^2）＝√（20－2）＝3√2。
∴S(△SBD)＝（1/2）BD×SE＝（1/2）×2√2×3√2＝6。

令点A到平面SBD的距离为h。
则V(A－SBD)＝（1/3）S(△SBD)×h＝（1/3）×6h＝2h。
显然有：V(A－SBD)＝V(S－ABD)，∴2h＝8/3，∴h＝4/3。
∴点A到平面SBD的距离是 4/3。

Answer 2

1.∵BD⊥AC,BD⊥SA
∴BD⊥平面SAC
∴平面EBD⊥平面SAC
2.S-ABD的面积=A-BDS的面积
S-ABD的面积=（2*2*1/2）*4*1/3=8/3
三角形BDS的面积=BD*OS*1/2=6
所以距离为4/3