Question

数学难题 在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2的n次方 ①设bn=an/2的n-1次方，证：数列{bn}为等差数列

②求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

话说。。题目的表述有点问题。。。
应该写为a(n+1)=an+2^n ①
bn=an/(2^(n-1)) ②
估计你是这个意思吧~
解答：
（1）
对②式变形可得
an=2^(n-1)*bn ③
a(n+1)=2^n*b(n+1)
带入①中有：
2^n*b(n+1)=2^n*bn+2^n
由于2^n>0，两边约去因子可有：
b(n+1)-bn=1 ④
即bn是以1为公差的等差数列。
（2）
由②得b1=a1/2^0=1
由④得bn通项公式：
bn=b1+(n-1)*1=n
带入③得到
an=n*2^(n-1)

则
Sn=1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1) ⑤
2Sn= 1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n ⑥
⑤-⑥得到：
-Sn=1+2+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n^2n
=2^n-1-n2^n
则Sn=(n-1)2^n+1

Answer 2

解答：
（1）
对②式变形可得
an=2^(n-1)*bn ③
a(n+1)=2^n*b(n+1)
带入①中有：
2^n*b(n+1)=2^n*bn+2^n
由于2^n>0，两边约去因子可有：
b(n+1)-bn=1 ④
即bn是以1为公差的等差数列。
（2）
由②得b1=a1/2^0=1
由④得bn通项公式：
bn=b1+(n-1)*1=n
带入③得到
an=n*2^(n-1)

则
Sn=1*1+2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1) ⑤
2Sn= 1*2+2*2^2+3*2^3+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n ⑥
⑤-⑥得到：
-Sn=1+2+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n^2n
=2^n-1-n2^n
则Sn=(n-1)2^n+1

Answer 3

①a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1，b(n+1)=bn+1/2，所以{bn}是1为首项，1为公差的等差数列
②由①知bn=n，所以an=n2^n

Answer 4

挚爱小喜儿回答的是对的，建议采纳