Question

已知数列{a}第一项a1=1，且an+1=an/1+an(n=1,2,3,......)

①求a2，a3，a4，的值，
②猜想数列{a}的通项公式并证明猜想

Answer 1

a1=1、a(n+1)=an/(1+an)
①a2=a1/(1+a1)=1/2
a3=a2/(1+a2)=(1/2)/(1+1/2)=1/3
a4=a3/(1+a3)=(1/3)/(1+1/3)=1/4
②猜想数列{a}的通项公式为an=1/n。
用数数归纳法证明。
1)n=1，则a1=1，命题成立。
2)假设n=k时命题成立，即ak=1/k。
3)求证n=k+1时命题成立，即a(k+1)=1/(k+1)。
证明：
a(k+1)=ak/(1+ak)
=(1/k)/[1+1/k)
=(1/k)/[(k+1)/k]
=1/(k+1)
所以，n=k+1时，命题成立。
因此，通项公式为：an=1/n，n为正整数。

Answer 2

a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4，猜想，an=1/n，证明如下，当n=1时，a1=1成立，当n=k时，假设ak=1/k，当n=k+1时，a（k+1）=ak/（ak+1）=1/（k+1）成立，得证