Question

已知函数f(x)=b㏑x，g（x)=ax²-x;(a，b∈R）

①若曲线f(x)与g（x)在公共点A(1,0)处有相同的切线，求实数a，b的值
②当b=1时，若曲线f（x)与g（x)在公共点P处有相同的切线，求证；点P唯一
③若a＞0，b=1，且曲线f(x)与g（x)总存在公切线，求证实数a的最小值

Answer 1

（1）f'(x)=b/x, g'(x)=2ax-1
∵曲线f(x)与g（x)在公共点A(1,0)处有相同的切线
∴g(1)=0 ==>a-1=0==>a=1
f'(1)=g'(1)==> b=2a-1 ==>b=1
∴a=1,b=1
(2)
b=1时，f(x)=lnx
设曲线的公共点P(r,s)
则 f'(r)=g'(r) ==> 1/r=2ar-1==> ar²=（r+1)/2
又 lnr=ar²-r ∴lnr=（r+1)/2-r
∴ 2lnr+2r-1=0
考察函数h(r)=2lnr+2r-1,为增函数，
∵h(1/e)=2/e-3<0, h(e)=1+2e>0
∴h(r)有且只有唯一零点
∴即方程 2lnr+2r-1=0有唯一解
∴符合条件的点P存在且唯一
③
b=1时，f(x)=lnx ，g(x)=ax²-x (x>0)
∵a>0，若 f(x)与g(x)两条曲线有公共切线
则需g(x)≥f(x)恒成立
即ax²-x≥lnx, , a≥(x+lnx)/x²恒成立
设k(x)=(x+lnx)/x²,需a≥k(x)max
k'(x)=[(1+1/x)x²-2(x+lnx)x]/x^4
=(x-x²-2xlnx)/x^4
=-x(2lnx+x-1 )/x^4
令 k'(x)=0, 2lnx+x-1=0 ==>x=1
0<x<1时， 2lnx<0,x-1<0,k'(x)>0,k(x)递增
x>1时， 2lnx>0,x-1>0,k'(x)<0，k(x)递减
∴k(x)max=k(1)=1
∴ a≥1