Question

请熟悉高数中左右极限的朋友看看，这道题怎么解，主要是如何求左右极限，谢谢

Answer 1

解：令f(x)=e^(1/x)*arctan(1/x)/(1+e^(1/x))
∵lim(x->+0)f(x)=lim(x->+0)[e^(1/x)*arctan(1/x)/(1+e^(1/x))]
={lim(x->+0)[arctan(1/x)]}*{lim(x->+0)[e^(1/x)/(1+e^(1/x))]}
=(π/2)*{lim(x->+0)[e^(1/x)/(1+e^(1/x))]}
=(π/2)*{lim(x->+0)[(e^(1/x)(-1/x²))/(e^(1/x)(-1/x²))] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=(π/2)*1
=π/2
lim(x->-0)f(x)=lim(x->-0)[e^(1/x)*arctan(1/x)/(1+e^(1/x))]
=0*(-π/2)/(1+0)
=0
∴lim(x->+0)f(x)≠lim(x->-0)f(x)，即 右极限≠左极限
故 lim(x->0)f(x)=不存在，即 lim(x->0)[e^(1/x)*arctan(1/x)/(1+e^(1/x))]=不存在。

Answer 2

做个变量替换就行了，当然要考虑符号

将 1/x 替换成变量t，这时候极限方式就变成了 t趋向于 ∞，也要考虑符号

这个时候问题处理起来就会简单很多。此时f(x)= e^t * arctant/(1+e^(2t))

Answer 3

关键在于e^(1/x)
当x趋于0+时 1/x 趋于正无穷 (不妨令y=1/x) ，e^y 也趋于正无穷
当x趋于0-时 1/x趋于负无穷 e^y 趋于0

Answer 4

额。。是不是用洛必达法则啊。。。

追问

这个不适用