Question

f(x)在(0,+∞)上有界且可导 当x趋于无穷时f(x)趋于0,那么f(x)的导数一定趋于0

这个结论哪错了 能举个反例吗

Answer 1

对函数割线的斜率，任取Δx>0，在x处：

     k(x)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx；

f(x)→0（x→+∞），则(不知道极限的ε-δ表述你会不会)：

任取ε>0，存在M∈R,使得当x>M时，

     |f(x)|<ε，

     |k|<2ε/Δx；

而由于取ε时，已取Δx，则可令ε=(Δx)^2，

故   |k|<2Δx；

令Δx→0，k→f'(x)，k→0。

 

当然，这前提是f（x）在（0，+∞）上有界且可导，即连续；

若其不连续则没有Δx→0，k→f'(x)。

比如你可以在x-y系内构造出如下函数：(如附图)

(1)画出y=1/x 和y=-1/x  (x>0)；

(2)在两条线之间一些画出平行斜线。

这些斜线组成的函数就满足x趋于无穷时f(x)趋于0，f(x)的导数不趋于0。

 

追问

这个之前就没看懂 这些斜线又不连续的 可是 可导必连续啊

追答

可导的意思是在x=某一个值的时候 它的导数只有一个值 除了断点之外剩下的值都可导
但我不太确定f(x)在(0,+∞)上有界且可导是否必须每一个x的值都可导

追问

应该是每个值都可导 这才有可导必连续的结论
是不是f(x)在(a，b）上可导 但lim(x-b)f'(x)不一定存在

追答

lim(x-b)f'(x)
是神马意思啊 逼人学艺不精 仅是高中水平

Answer 2

e^(-x)

追问

它的导数是0啊

追答

哦，看错了，以为说的是f‘（0） = 0
sin(x)
有界，可导

追问

可它“当x趋于无穷时f(x)趋于0” 条件不符合啊

追答

sin(x * e^x) / x

追问

就像f(x)在(a，b）上可导 但lim(x-b)f'(x)不一定存在
所以，f(x)在(0,+∞)可导是说f'(x)在(0,+∞)上处处存在 但不能保证lim(x->∞)f'(x)一定存在
是的吧 若是的话，我就懂了

追答

嗯，是的
f'(x)在(0,+∞)上处处存在，但lim(x->∞)f'(x)可能不存在。
如sin(x*e^x)/x
它在(0,+∞)有界可导。
但limit(x->∞) f'(x) 不存在