Question

关于"用数学归纳法证明: (3n+1)*7^n-1能被9整除"的一个问题

(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时,
[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1
=(3k+1+3)*7*7^k-1
=(3k+1)*7*7^k-7+21*7^k+6
=7[(3k+1)*7k-1]+3*7^(k+1)+6
★★★ 这时7[(3k+1)*7k-1]能被9整除,我的问题是怎样证明3*7^(k+1)+6也是能被9整除的?

★★★我知道网上有另外一种方法,如果仅仅复制一下不针对我的问题就不必粘上来了
我哪个地方理解出错了......?

Answer 1

与其说你的理解有问题，不如说你方法有问题。不是随便化一下凑出n=k时的式子就一定能做出来，这时还要考虑余式里面也要是9的倍数。
你这样做之后等于再做一次归纳法，证明3*7^(n+1)+6能被9整除
当n=1时 3*7^2+6=153是9的倍数
设当n=k时3*7^(k+1)+6是9的倍数
则当n=k+1时
3*7^(k+2)+6
=[3*7^(k+1)+6-6]*7+6
=[3*7^(k+1)+6]*7-36
其中[3*7^(k+1)+6]*7由归纳假设可知是9的倍数，且36也是9的倍数
故3*7^(k+1)+6 能被9整除

Answer 2

你有个地方理解出错了..,

证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除
数学归纳法
(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

Answer 3

(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k