Question

求解一道高数积分题∫exp(-x^2)dx 积分上限+∞ 积分下限0 答案是(根号π)/2 但是答案里没有过程 所以求步骤

Answer 1

∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy

而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy

=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy

=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy

然后是用极坐标换元，x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π]

=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π])

=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大)，

=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大)，

=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大)，

=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大

=π*(1-0)

=π

∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2

易知∫e^(-x^2)dx>0

所以∫e^(-x^2)dx=√π

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy
而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy

然后是用极坐标换元，x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π]
=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π])
=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大)，
=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大)，
=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大)，
=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大
=π*(1-0)
=π

∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2
易知∫e^(-x^2)dx>0
所以∫e^(-x^2)dx=√π

Answer 3