求函数在某点的无穷的级数展开
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也可以展开成傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)
一种特殊的三角级数。形如
(1)
的级数，其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数。特别,当(1)中的系数αn，bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：
(2)
式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l(-π,π)。此时，由公式(2)得到的系数αn，bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为
。 (3)
当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即，那么双方都乘以cosnx或sinnx后,在(－π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。
问题往往是，给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有：
① 迪尼判别法 对固定的点x，如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h)，那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数,且α≤1。另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。
② 狄利克雷－若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如［x-h,x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法，对函数所提的要求，都是充分条件，并非必要的。关于收敛性判别法，还有几种。值得注意的是，至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,/2，（叿n表示сn的共轭复数）,那么级数(1)可写成复数形式
, (4)
这里,(4)的部分和Sn理解为。假如(1)是ƒ的傅里叶级数，那么它的复数形式也是(4)，但系数
。 (5)
上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数，又称ƒ的傅里叶系数的复形式。
傅里叶系数的重要性质 列举下面两条：
① 若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。
② 若ƒ(x∈l(-π,π)，则有
。
这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数
(6)
的实部就是三角级数(1)，虚部
(7)
称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数 设为m 维欧氏空间R的点，级数
(8)
称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如ƒ(x)＝ƒ(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体
Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m) (9)
上，ƒ是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数
那么称(8)为ƒ的傅里叶级数，并记为
多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund,Trigonometric Series，Vol. 1～2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)
一种特殊的三角级数。形如
(1)
的级数，其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数。特别,当(1)中的系数αn，bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：
(2)
式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l(-π,π)。此时，由公式(2)得到的系数αn，bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为
。 (3)
当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即，那么双方都乘以cosnx或sinnx后,在(－π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。
问题往往是，给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法 常用的判别法有：
① 迪尼判别法 对固定的点x，如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h)，那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数,且α≤1。另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。
② 狄利克雷－若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如［x-h,x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法，对函数所提的要求，都是充分条件，并非必要的。关于收敛性判别法，还有几种。值得注意的是，至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式 三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,/2，（叿n表示сn的共轭复数）,那么级数(1)可写成复数形式
, (4)
这里,(4)的部分和Sn理解为。假如(1)是ƒ的傅里叶级数，那么它的复数形式也是(4)，但系数
。 (5)
上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数，又称ƒ的傅里叶系数的复形式。
傅里叶系数的重要性质 列举下面两条：
① 若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。
② 若ƒ(x∈l(-π,π)，则有
。
这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数
(6)
的实部就是三角级数(1)，虚部
(7)
称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数 设为m 维欧氏空间R的点，级数
(8)
称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如ƒ(x)＝ƒ(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体
Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m) (9)
上，ƒ是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数
那么称(8)为ƒ的傅里叶级数，并记为
多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
参考书目
A. Zygmund,Trigonometric Series，Vol. 1～2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.
三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
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