Question

在三角形ABC中，角B=2角C，角A的平分线AD交BC于点D，试判断AB+BD与AC的大小关系，并证明

Answer 1

AB+BD＝AC
证明：
在AC上截取AE＝AB，连接DE
因为AD是角平分线
所以∠BAD＝∠EAD
因为AB＝AE，AD＝AD
所以三角形ABD≌三角形AED（SAS）
所以∠AED＝∠B，DE＝BD
因为∠B＝2∠C，所以∠AED＝2∠C
因为∠AED＝∠EDC+∠C
所以∠EDC＝∠C
所以DE＝EC
所以EC＝BD
所以AD+BD＝AE+EC＝AC

Answer 2

延长AB到点 E，使DE=BD，连接DE
∵BE=BD
∴∠E=∠BDE
∴∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
∵AD是角平分线
∴∠EAD=∠CAD
∵AD=AD
∴△AED≌△ACD
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD

Answer 3

AB+BD=AC
在AC边上取一点E使得AE=AB，连接DE
因为AD是∠BAC的角平分线，AE=AB，AD=AD
所以三角形ABD全等三角形AED
所以∠B=∠AED，ED=BD
因为∠AED=∠EDC+∠C=2∠C
所以ED=EC=BD
所以AC=AE+EC=AB+BD

Answer 4