Question

收敛、连续、有界的关系？

Answer 1

收敛必然有界，反之不一定；连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系。

比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

令{an}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就称数列{an}收敛于A（极限为A），即数列{an}为收敛数列。

扩展资料

对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

关于函数的有界性，应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

参考资料来源：百度百科-收敛

Answer 2

收敛必然有界，反之不一定；连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系，比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c，有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

扩展资料：

连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

参考资料来源：百度百科——有界

参考资料来源：百度百科——连续

参考资料来源：百度百科——收敛

Answer 3

首先，收敛和有极限是一个概念。其次，函数收敛能推出它是局部有界的。【关于这个局部，如果已知的是x→x0时函数有极限，则这个局部是指x0的某个δ临域；如果已知的是x→∞时函数有极限，则这个局部指的是x>+∞或x<-∞】但是有界不一定能推出收敛（有极限）【如函数F(x)=sinx,它是有界的，但当x→∞时它并不收敛。】 综上，收敛<=>有极限 收敛=>有界

Answer 4

收敛必然有界，反之不一定；
连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系，比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

Answer 5

收敛是指函数有极限，极限乃微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

PS1：有界集：
设在R中有一个集合A，如果存在正数M<∞：
|x-y|≤M，其中任意x,y∈A；
就称A为有界集，即A是有界的
函数的有界性与其他函数性质（函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。）之间的关系
闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。
闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。
极限和导数关系密切,而关于函数的导数和连续有比较经典的四句话：
1、连续的函数不一定可导.
2、可导的函数是连续的函数.
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑.
4、存在处处连续但处处不可导的函数.（比如y=|x|）
所以
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导
或者说，每个函数的特性不一样，就又有各种各样的极限和有界，在这个前提下，连续才可以被讨论和测定