Question

高中数学 导数 凸函数

求证明： 若f(x)的导数递增且f(x)递增（即f(x）为凸函数），则对x∈(x1,x2) 有 (f(x1)-f(x))/(x1-x) ≤ (f(x2)-f(x))/(x2-x)
要用高中可以用的方法。。。。。考试不扣分的那种。。。
"又由于f(x)的导数递增且f(x)递增
所以g(x)为增函数"

-_-!!! 我就不知道这怎么用高中的知识证。。。。高中没有凸函数的概念！！

Answer 1

(f(x1)-f(x))/(x1-x)= (f(x)-f(x1))/(x-x1)，又有x1＜x＜x2
故可构造g(x)= (f(b)-f(a))/(b-a)
其几何意义为a,b间的割线~~~<若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴启梁的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行. >

又由于f(x)的导数递增且f(x)递增
所以g(x)为增函数
又有x1＜x＜x2
故(f(x)-f(x1))/(x-x1)≤(f(x2)-f(x))/(x2-x)
即 (f(x1)-f(x))/(x1-x) ≤ (f(x2)-f(x))/(x2-x)
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凸函数. 判定方法可利用定义法、已知结厅型论法以及函数的二阶导数 一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。（向下凸） 如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格悄伏运凸函数。

追问

"又由于f(x)的导数递增且f(x)递增
所以g(x)为增函数"
-_-!!! 我就不知道这怎么用高中的知识证。。。。高中没有凸函数的概念！！

Answer 2

(f(x1)-f(x))/(x1-x)= (f(x)-f(x1))/(x-x1)，又有x1＜x＜x2
故可构造g(x)= (f(b)-f(a))/(b-a)
其几何意义为a,b间的割线
又由改纯于f(x)的导数递增且f(x)递增（这个好像叫凹函数吧）
所以g(x)为增函数
又有x1＜x＜x2
故(f(x)-f(x1))/(x-x1)≤ (f(x2)-f(x))/袭颤(x2-x)
即拍歼败 (f(x1)-f(x))/(x1-x) ≤ (f(x2)-f(x))/(x2-x)