Question

一道高一数学题，答案是B，请给以下过程，谢谢

一直一个矩形的两边长分别为tan(θ/2)和1+cosθ(0<θ<π)，对任意x∈R，f(x)=x²sinθ+(3开四次方)x+cosθ≥0恒成立，则此矩形面积
A.有最大值1，最小值1/2 B.有最大值√3/2，最小值1/2 C.有最大值1，无最小值 D.有最小值√3/2，最大值1

Answer 1

因为f(x)≧0恒成立，所以f(x)的图像在x轴的上方，f(x)和x轴最多有一个交点(切点)，所以△=√3-4sinθcosθ≦0即sin2θ≥√3/2，因为0≦θ≦π，所以0≦2θ≦2π，因为sin2θ≥√3/2＞0，所以π/3≦2θ≦2π/3，所以π/6≦θ≦π/3；矩形面积为tanθ/2(1+cosθ)=2(cosθ/2)^2tanθ/2=2cosθ/2sinθ/2=sinθ，所以矩形面积的最大值为sinπ/3=√3/2，最小值为sinπ/6=1/2，即答案B。