Question

判断函数单调性中的变形（高手来来啊！！！！

用定义判断函数单调性时到f(x1)-f(x2)变形这一步时，怎么通分合并，我合并不起来，因为它的项都不是很规范的，我都觉得很复杂，如：f(x1)-f(x2)=x1-2/x1 -(x2-2/x2),怎样通过这步变形才能够会跟直接的看出函数的单调性（然后请高手帮我总结下变形的技巧、、、急急急！！！！！！！！！！，谢谢！！！！！！！！！

Answer 1

首先应该先设定x1>x2
再作差f(x1)-f(x2)
=(x1-2/x1)-(x2-2/x2)
=(x1-x2)+2(1/x2-1/x1)
对于x1-x2>0
对于1/x2-1/x1>0
因此f(x1)-f(x2)>0
即有f(x)为增函数
要说技巧，就是要想方设法利用先设定的x1>x2来推出f(x1)-f(x2)是大于还是小于0
有不懂欢迎追问

追问

有时候是变形成乘积的形式，我就是化乘积不会

追答

其实无论变为和或者是乘积的形式
我们的目的都是要看出f(x1)-f(x2)的符号
要看出其符号，我们可以利用的就是我们自己设定的x1>x2
那么，你可以尝试用以下方法
先看看能否一眼就看出来，如果不行
就将能凑成(x1-x2)的形式的全凑出来，凑出来了，再逐项判断
如果每一项的符号中有正有负，那就提取公因式(x1-x2)变为乘积的形式，再去判断符号就好了
当然，现在是空口说，给你一个例子：
根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x^3+1在R上是减函数

先设x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(-x1^3+1)-(-x2^3+1)
=x^2^3-x1^3……其实这一步就已经可以看出来，不过我们可以继续向下做
=(x2-x1)(x2^2+x1^2+x1x2)
对于x2-x10
因此f(x1)-f(x2)<0
即为减函数
有不懂欢迎追问

Answer 2

一般来说 将f(x1)-f(x2)化为(x1-x2)*(....) 这个(...)必须符号确定
x1-2/x1 -(x2-2/x2)=x1 -x2+2/x2-2/x1
=(x1 -x2)+2(x1-x2)/(x1x2)=(x1 -x2)(1+2/(x1x2))

追问

高手你怎么合并起来的，为什么我合并不起来，化不到乘积形式

追答

这个是因式分解 基础 要好好学习啊
技巧么 我觉得就是把相似的放到一起
有分数的通分 通过各种公式 找出x1-x2 有很多的公式啊