Question

一道数列题，求高手解答

已知数列{An}的前n项的和Sn=n^+2n,数列{Bn}是正等比数列，且满足A1=2乘B2，B3(A3-A1)=B1
1.求数列{An}和{Bn}的通项公式
2.记Cn=AnBn 求数列{Cn}的前n项和。

Answer 1

1、
a1=S1=3
Sn=n²+2n
S(n-1)=(n-1)² + 2(n-1)
两式相减，得：
Sn - S(n-1)=n²-(n-1)²+2n-2(n-1) = 2n+1，n≥2
即：an=2n+1，n≥2
把a1=1代入也满足
∴an = 2n + 1

∵a1 = 2b2
∴b2 = 3/2
∵b3(a3-a1)=b1
∴b3/b1=1/4
即：q²=1/4
∵数列{Bn}是正等比数列
∴q＞0， 即：q=1/2
∴b1=b2/q=3
∴bn=3×(1/2)^(n-1)

2、
Cn=an·bn=(2n+1)×3×(1/2)^(n-1)
设数列{Cn}的前n项和为Tn
Tn=3×3 + 5×3×(1/2) +7×3×(1/2)² + …… +(2n+1)×3×(1/2)^(n-1)
(1/2)Tn= 3×3×(1/2) +5×3×(1/2)² + …… +(2n-1)×3×(1/2)^(n-1)+(2n+1)×3×(1/2)^n
两式相减，得：
(1/2) Tn = 3×3 + 2×3×(1/2)+2×3×(1/2)²+……+2×3×(1/2)^(n-1) - (2n+1)×3×(1/2)^n
= 9 + 6[(1/2)+(1/2)²+(1/2)³+……+(1/2)^(n-1)] - 3(2n+1)(1/2)^n
= 9 + 6×(1/2)×[1 - (1/2)^(n-1)]/[1-(1/2)] - 3(2n+1)(1/2)^n
= 15 - 6×(1/2)^(n-1) - 3(2n+1)(1/2)^n
= 15 - 12×(1/2)^n - 3(2n+1)(1/2)^n
= 15 - (6n+15)(1/2)^n
∴Tn = 30 - (12n+30)(1/2)^n