Question

初中数学几何题，如下图

Answer 1

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
在BC上截取BF=AB，连接DF
∵BD平分∠B
∴∠ABD=∠FBD
又∵BD=BD
∴⊿ABD≌⊿FBD（SAS）
∴AD=DF=CE
∠BFD=∠A
∵BD=BE，∠DBE=½∠B=20º
∴∠BED=80º，∠CDE=80º-∠C
∠DFE=180º-∠A=∠ABC+∠C=40º+∠C
∵CE/DE=sin∠CDE/sin∠C=sin(80º-C)/sinC【sin∠C简写为sinC】
DF/DE=sin∠BED/sin∠DFE=sin80º/sin(40º+C)
∵CE/DE=DF/DE
∴sin(80º-C)/sinC=sin80º/sin(40º+C)
化简：
sin(80º-C)×sin(40º+C)=sin80º×sinC
(sin80ºcosC-cos80ºsinC)×(sin40ºcosC+cos40ºsinC)=sin80ºsinC
sin40ºsin80ºcos²C+sin80ºcos40ºsinCcosC-cos80ºsin40ºsinCcosC-cos40ºcos80ºsin²C
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º(1-sin²C)-cos40ºcos80ºsin²C+sinCcosC(sin80ºcos40º-cos80ºsin40º)
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-sin²C(sin40ºsin80º+cos40ºcos80º)+sin40ºsinCcosC=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-cos40ºsin²C+sin40ºsinCcosC-sin80ºsinC=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinC(sin40ºcosC-cos40ºsinC)=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinCsin(40º-C)=0

∵ 0＜C＜140º
当C＜40º时，sin40º-sinC＞0，sin（40º-C）＞0，等式不成立
当40º＜C＜140º时，sin40º-sinC＜0，sin（40º-C）＜0，等式也不成立
当C＝40º时，等式成立
∴∠C=∠ABC=40º
∴AB=AC

追问

为什么
∵BD=BE，∠DBE=½∠B=20º
∴∠BED=80º？？？
三角形当中只知道一个角怎么能够推出另一个角呢？？？

Answer 2

∵BD+AD=BC
   BE+CE=BC
∴AD=CE
在BC上截取BF=AB，连接DF
∵BD平分∠B
∴∠ABD=∠FBD
又∵BD=BD
∴⊿ABD≌⊿FBD（SAS）
∴AD=DF=CE
  ∠BFD=∠A
∵BD=BE，∠DBE=½∠B=20º
∴∠BED=80º，∠CDE=80º-∠C
   ∠DFE=180º-∠A=∠ABC+∠C=40º+∠C
∵CE/DE=sin∠CDE/sin∠C=sin(80º-C)/sinC【sin∠C简写为sinC】
   DF/DE=sin∠BED/sin∠DFE=sin80º/sin(40º+C)
∵CE/DE=DF/DE
∴sin(80º-C)/sinC=sin80º/sin40º+C)

 

Answer 3

证明：
在BC上截取BE=BD，连接DE
∵BD+AD=BC
BE+CE=BC
∴AD=CE
在BC上截取BF=AB，连接DF
∵BD平分∠B
∴∠ABD=∠FBD
又∵BD=BD
∴⊿ABD≌⊿FBD（SAS）
∴AD=DF=CE
∠BFD=∠A
∵BD=BE，∠DBE=½∠B=20º
∴∠BED=80º，∠CDE=80º-∠C
∠DFE=180º-∠A=∠ABC+∠C=40º+∠C
∵CE/DE=sin∠CDE/sin∠C=sin(80º-C)/sinC【sin∠C简写为sinC】
DF/DE=sin∠BED/sin∠DFE=sin80º/sin(40º+C)
∵CE/DE=DF/DE
∴sin(80º-C)/sinC=sin80º/sin(40º+C)
化简：
sin(80º-C)×sin(40º+C)=sin80º×sinC
(sin80ºcosC-cos80ºsinC)×(sin40ºcosC+cos40ºsinC)=sin80ºsinC
sin40ºsin80ºcos²C+sin80ºcos40ºsinCcosC-cos80ºsin40ºsinCcosC-cos40ºcos80ºsin²C
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º(1-sin²C)-cos40ºcos80ºsin²C+sinCcosC(sin80ºcos40º-cos80ºsin40º)
=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-sin²C(sin40ºsin80º+cos40ºcos80º)+sin40ºsinCcosC=sin80ºsinC
sin40ºsin80º-cos40ºsin²C+sin40ºsinCcosC-sin80ºsinC=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinC(sin40ºcosC-cos40ºsinC)=0
sin80º(sin40º-sinC)+sinCsin(40º-C)=0
∵ 0＜C＜140º
当C＜40º时，sin40º-sinC＞0，sin（40º-C）＞0，等式不成立
当40º＜C＜140º时，sin40º-sinC＜0，sin（40º-C）＜0，等式也不成立
当C＝40º时，等式成立
∴∠C=∠ABC=40º
∴AB=AC
很详细,如果复杂了你就简化哈,