Question

已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0

用反证法。
急！！！！！

Answer 1

假设a、b、c不都是正数。
若abc>0，则a、b、c中只能是两个负数、一个正数。
不妨假设a<0、b<0、c>0。
则ab>0、-a-b>0
因为a+b+c>0
所以c>-a-b>0
-c(a+b)>(a+b)^2
由ab+bc+ca>0可得：ab>-c(a+b)>(a+b)^2
a^2+b^2<-ab<0，矛盾。
所以，a<0、b<0、c>0不成立。
因此，a>0、b>0、c>0。

Answer 2

实际上也就反正法好做这个
假设a，b，c中一个或3个小于0，那么abc<0
所有假设a<0,b<0,c>0那么a+b>-c,c<-(a+b) ab+bc+ac=ab+c(a+b)<ab+(a+b)(a+b)(-1)<0
所以a,b,c中没有一个是0

Answer 3

由abc>0 只有2种可能：一是三个全为正，二是1正2负
如果是第二种情况，那么由对称性不妨假设 a>0, b<0,c<0
那么 a+b > -c >0 而ab+bc+ca = ab+ (a+b) c <0 因为都是一正一负相乘