Question

计算极限lim(x趋向于-1)（x²-2x-3）/sin（x+1）

Answer 1

解法一：lim(x->-1)[(x²-2x-3)/sin(x+1)]=lim(x->-1)[(2x-2)/cos(x+1)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=[2(-1)-2]/cos(-1+1)
=-4；
解法二：lim(x->-1)[(x²-2x-3)/sin(x+1)]=lim(x->-1)[(x-3)(x+1)/sin(x+1)]
=lim(x->-1){(x-3)*[(x+1)/sin(x+1)]}
=[lim(x->-1)(x-3)]*{lim(x->-1)[(x+1)/sin(x+1)]}
=(-1-3)*1 (应用重要极限lim(t->0)(sint/t)=1)
=-4。

Answer 2

当x->-1时，x+1 ->0, sin(x+1) ~ x+1
而分子=(x+1)(x-3)
所以消去x+1得到极限等于x-3= -4

Answer 3

由于分子分母在x趋于-1时都趋于0
所以根据洛必达法则，它的极限上下求导数极限不变
上下求导后可得2x-2/cos(x+1)，此时分子为-4分母为1,
所以答案为-4