Question

已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示．

（1）当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．

第二题要求不用空间向量

Answer 1

1、在未折叠前

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，（正方形对角线互相垂直平分），

OB⊥OA，OB⊥OC，

∴〈AOC是二面角A-BD-C的平面角，

AB=2，则BD=2√2，

AO=CO=BD/2=√2，

在△AOC中，AC=2，

根据勾股定理逆定理，

AO^2+CO^2=AC^2=4,

∴△AOC是RT△，

∴〈AOC=90°，

∴AO⊥CO，

∴二面角A-BO-C是直二面角，

即平面ABD⊥平面BCD，

∵AO⊥BD，

∴AO⊥平面BCD，（两平面相垂直，若一平面上一直线垂直交线，则该直线必垂直另一平面）。

2、在平面ACO上，延长CO，作AH⊥CO，垂足H，连结BH，

由前所述，∵OD⊥AO，OD⊥CO，

AO∩CO=O，

∴OD⊥平面ACO，

∵AH∈平面ACO，

∴OD⊥AH，

∵CO∩OD=O，

∴AH⊥BCD，

∴△BCH是△ABC在平面BCD上的投影，

设二面角A-BC-D的平面角为θ，

则S△BCH=S△ABC*cosθ, （1）

由前所述，<AOC是二面角A-BD-C的平面角，

<ACO=<CAO=30°，

∴〈AOC=120°，

AO=CO=√2，

在△AOC中，根据余弦定理，AC=√6，

根据余弦定理，cos<BAC=（AB^2+AC^2-BC^2）/(2*AB*AC)=√6/4，

sin<BAC=√10/4，

S△ABC=(1/2)AB*AC*sin<BAC=√15/2，

在△ACH中，AH=AC/2=√6/2，（RT△30度所对边是斜边的一半），

CH=√3AH=3√2/2，

BO=√2，

S△BCH=CH*BO/2=3/2，

由（1）式，√15/2*cosθ=3/2，

cosθ=√15/5，

sinθ=√10/5，

tanθ=sinθ/cosθ=√6/3。

∴二面角A-BC-D正切值为√6/3. 

Answer 2

（1）证明：∵AC∩BD=O，即O为AC,BD的中点
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴AO⊥BD，AO为BD的中垂线
由CD=BC=2可得BD=2√2，那么 D0=√2，又DC=2，CO⊥BD,那么C0= √2，又AO=CO=√2，AC=2，所以AO⊥OC
∵BD∩OC=O，，BD∈面BCD，OC∈面BCD，∴AO⊥面BCD
第二题忘了那个三角函数的公式了，其实也不难，做两条辅助线，各边的关系求出来就行了(╯﹏╰）