Question

已知函数f(x)=根号a/(a^x+根号a)(a>0且a ≠1)（1）求证f(x)+f(1-x)=1

（2）f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)

Answer 1

解：
(1)证明：∵f(x)=√a/(a^x+√a)
∴f(1-x)=√a/{a^(1-x)+√a}
=√a/(a/a^x+√a) (上下都除以√a)
=1/(√a/a^x+1) (上下都乘以a^x)
=a^x/(a^x+√a)
∴f(x)+f(1-x)=√a/(a^x+√a)+a^x/(a^x+√a)
=(a^x+√a)/(a^x+√a)
=1
因此 f(x)+f(1-x)=1
(2)∵f(x)+f(1-x)=1
∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1
∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=1+1+1=3

Answer 2

f(1-x)=√a/((a/a^x)+√a)分子分母同乘a^x，在约去√a得f(1-x)=a^x/(a^x+√a)，故f(x)+f(1-x)=1。

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(1-3)+f(1-2)+f(1-1)+f(1)+f(2)+f(3)=3