Question

一道微积分的题目，我这样做错在哪里呢

设函数f(x)在(负无穷大，正无穷大)内满足f(x)=f(x-π)+sinx，且当x∈[0,π]
时，f(x)=x。求∫（π，3π）f(x) dx。

我是这样算的，设f(x)的原函数为F(x)，对f(x)=f(x-π)+sinx两边积分可得：
F(x)=F(x-π)-cosx，即F(x)-F(x-π)=-cosx
又∫（π，3π）f(x) dx
=∫（π，2π）f(x) dx + ∫（2π，3π）f(x) dx
=F(2π)-F(π)+F(3π)-F(2π)
=-cos2π-cos3π=0
这样解有什么问题吗，为什么不对啊？
谢谢大家。

Answer 1

对f(x)=f(x-π)+sinx两边积分可得：
F(x)=F(x-π)-cosx
这一步一般而言就是错误的。
积分必须考虑初值，因此可以相差一个常数，故只能得到
F(x)=F(x-π)-cosx+C，还需要定出常数C。
本题建议直接计算就可以了。由条件容易得到f(x)的表达式：
f(x)=x－pi+sinx，pi<x<2pi；
=x－2pi，2pi<x<3pi。
然后积分就行了。

Answer 2

第一：
F(x)=F(x-π)-cosx+C
第二：f(x)=x这个条件你没有用上。
第三：f(x)是不连续的。f(pai) f(2pai) f(3pai)在不同区间有不同取值！
因此，xE(pai,2pai)时的F(2pai)与
XE(2pai,3pai)时的F（2pai)取值不一样，不能抵掉！
应这么做：
设x-paiE[0，pai] 则xE[pai,2pai]
f(x)=f(x-pai)+sinx=x-pai+sinx=x+sinx-pai xE[pai,2pai]
f(pai)=pai+0-pai=0 f(2pai)=2pai+0-pai=pai
设x-pai=t x=t+pai
f(t+pai)=f(t)+sin(t+pai)
f(x+pai)=f(x)+sin(x+pai)
f(x+pai)=x+sinx-pai+sin(x+pai) =(x+pai)-sin(x+pai)-2pai+sin(x+pai)
=(x+pai)-2pai xE[pai,2pai] x+paiE[2pai,3pai]
所以：f(x)=x-2pai xE[2pai,3pai]
f(2pai)=0 f(3pai)=pai
从这里看，f(x)是不连续的。只分分段积分
即：=∫（π，2π）f(x) dx + ∫（2π，3π）f(x) dx
==∫（π，2π）(x+sinx-pai) dx + ∫（2π，3π）(x-2pai) dx
=1/2x^2-cosx-paix) [pai,2pai] + (1/2x^2-2paix) [2pai,3pai]
=(2pai^2-1-2pai^2)-(1/2pai^2+1-pai^2) + 4.5pai^2-6pai^2-2pai^2+4pai^2
=-1-1+pai^2-1.5pai^2+2pai^2
=3pai^2/2-2