Question

设f(X)具有2阶连续导数,且f(a)=0,g(x)=f(x)/x-a,x不等于a, g(x)=f'(a),x=a,求g'(x）并证明g(x)的一阶导数

在x=a处连续！ 各位大神 主要是x=a的 那个g'(x)=?然后就是 证明了！！谢谢了~~小女子不胜感激~~

Answer 1

当x≠a时

g'(x) = f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2

（下面的极限全是x趋于a时的极限）

x=a时

g'(a) = lim [g(x) - g(a)]/(x-a)

= lim [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)

f(x)具有二阶连续导数,则f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 0.5f''(x)(x-a)^2 + o((x-a)^2)

g'(a) = lim 0.5f''(a) + o((x-a)^2) = 0.5f''(a)

而lim g'(x) = lim f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2 = lim [f'(x) - f'(a)]/(x-a) - 0.5f''(a) - o((x-a)^2)

= 0.5f''(a) = g'(a)

所以g(x)一阶导数在x=a处连续

简介

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义，在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性：斯科特连续性。

Answer 2

当x≠a时
g'(x) = f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2
（下面的极限全是x趋于a时的极限）
x=a时，
g'(a) = lim [g(x) - g(a)]/(x-a)
= lim [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)
f(x)具有二阶连续导数，则f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 0.5f''(x)(x-a)^2 + o((x-a)^2)
g'(a) = lim 0.5f''(a) + o((x-a)^2) = 0.5f''(a)
而lim g'(x) = lim f'(x)/(x-a) - f(x)/(x-a)^2 = lim [f'(x) - f'(a)]/(x-a) - 0.5f''(a) - o((x-a)^2)
= 0.5f''(a) = g'(a)
所以g(x)一阶导数在x=a处连续

Answer 3

当x不等于a时，g'(x)=(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2.当x=a时，
(g(x)-g(a))/(x-a) = [f(x)/(x-a) - f'(a)]/(x-a)=[f(x)- f'(a)(x-a)]/(x-a)^2
因为当x趋于a时，limf(x)- f'(a)(x-a）=0，由罗比达法则：
g'(a)=lim(f(x)- f'(a)(x-a)]/(x-a)^=(f'(x)-f(a))/2(x-a)=f''(a)/2
另一方面：limg'(x)=lim(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2,类似由罗比达法则：
limg'(x)=lim(f'(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2=lim(f''(x)(x-a)+f'(x)-f(x))/2(x-a)
=limf''(x)/2=f''(a)/2 (二阶导数连续，limf''(x)=f''(a))
所以：limg'(x)=f''(a)/2=g'(a)
即：g'(x)在a连续