Question

求证对任意自然数n，3 ^4n+2 +5 ^2n+1能被14整除

Answer 1

3^(4n+2)+5^(2n+1)=14N NEz
以上可用数学归纳法,很容易:
n=1时,左=3^6+5^3=729+125=854
N=854/14=61成立.
设n=k时成立.即:3^(4k+2)+5^(2k+1)=14N 3^(4k+2)=14N-5^(2k+1)
则n=k+1时.3^(4(k+1)+2)+5(2(k+1)+1)=3^4*3^(4k+2)+5^(2)*5^(2k+1)
=81*3^(4k+2)+25*5(2k+1)
=81*(14N-5^(2k+1))+25*5^(2k+1)
=81*14N-56*5^(2k+1)
由于[81*14N-56*5^(2k+1)]/14=81-4*5^(2k+1)是整数
所以n=k+1时也成立.
所以原式成立.

Answer 2

3 ^4n+2 +5 ^2n+1
=9 ^2n+1 +5 ^2n+1
=(9+5)[9 ^2n-9 ^(2n-1)*5 +9 ^(2n-2)*5²-。。。]
∴3 ^4n+2 +5 ^2n+1能被14整除