第8题数学
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∵f（x）＝√x，
∴f（x1）＝√x1、f（x2）＝√x2、f（px1＋qx2）＝√（px1＋qx2）。
又∵ p＋q＝1。
∴［pf（x1）＋qf（x2）］^2
＝［√p×√（px1）＋√q×√（qx2）］^2
≦［（√p）^2＋（√q）^2］｛［√（px1）］^2＋［√（qx2）］^2｝
＝（p＋q）（px1＋qx2）
＝px1＋qx2
＝［f（px1＋qx2）］^2。
∵p＞0、q＞0、f（x）≧0，∴pf（x1）＋qf（x2）≧0。
∴pf（x1）＋qf（x2）≦f（px1＋qx2）。
∴f（x1）＝√x1、f（x2）＝√x2、f（px1＋qx2）＝√（px1＋qx2）。
又∵ p＋q＝1。
∴［pf（x1）＋qf（x2）］^2
＝［√p×√（px1）＋√q×√（qx2）］^2
≦［（√p）^2＋（√q）^2］｛［√（px1）］^2＋［√（qx2）］^2｝
＝（p＋q）（px1＋qx2）
＝px1＋qx2
＝［f（px1＋qx2）］^2。
∵p＞0、q＞0、f（x）≧0，∴pf（x1）＋qf（x2）≧0。
∴pf（x1）＋qf（x2）≦f（px1＋qx2）。
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利用柯西不等式。
∵f（x）＝√x，∴f（x1）＝√x1、f（x2）＝√x2、f（px1＋qx2）＝√（px1＋qx2）。
又p＋q＝1。
∴［pf（x1）＋qf（x2）］^2
＝［√p×√（px1）＋√q×√（qx2）］^2
≦［（√p）^2＋（√q）^2］｛［√（px1）］^2＋［√（qx2）］^2｝
＝（p＋q）（px1＋qx2）
＝px1＋qx2
＝［f（px1＋qx2）］^2。
∵p＞0、q＞0、f（x）≧0，∴pf（x1）＋qf（x2）≧0。
∴pf（x1）＋qf（x2）≦f（px1＋qx2）。
∵f（x）＝√x，∴f（x1）＝√x1、f（x2）＝√x2、f（px1＋qx2）＝√（px1＋qx2）。
又p＋q＝1。
∴［pf（x1）＋qf（x2）］^2
＝［√p×√（px1）＋√q×√（qx2）］^2
≦［（√p）^2＋（√q）^2］｛［√（px1）］^2＋［√（qx2）］^2｝
＝（p＋q）（px1＋qx2）
＝px1＋qx2
＝［f（px1＋qx2）］^2。
∵p＞0、q＞0、f（x）≧0，∴pf（x1）＋qf（x2）≧0。
∴pf（x1）＋qf（x2）≦f（px1＋qx2）。
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