Question

一道数学三角函数题 求解...望详细 高手来 一道数学三角函数题

已知在三角形ABC中,a b c 成等比数列
1.求cosB关于ac的表达式及最小值
2.若x=B，且关于x的不等式cos2x-4sin(π/4+x/2)+m>0恒成立，求m范围..
3.当x>0时，不等式x^2-mx+9>0恒成立，求m范围。

Answer 1

1.因a b c 成等比数列
所以b^2=ac
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2-ac)/(2ac)
又a^2+c^2≥2ac
所以
cosB=(a^2+c^2-ac)/(2ac)≥（2ac-ac)/(2ac)=1/2
所以cosB关于a，c的表达式是
cosB=(a^2+c^2-ac)/(2ac)
最小值1/2
2.不等式cos2x-4sin(π/4+x/2)+m>0应为
不等式cos2x-4sin(π/4+x/2)sin(π/4-x/2)+m>0
当x=B时
cos2B-4sin(π/4+B/2)sin(π/4-B/2)+m
=cos2B-4sin(π/4+B/2)cos(π/2+B/2)+m
=cos2B-2sinB-2+m
=1-2sin^2B-2sinB-2+m
=-2(sinB)^2-2sinB-1+m
=-2[(sinB)^2+sinB]-1+m
=-2(sinB+1/2)^2-1/2+m>0
因不等式cos2B-4sin(π/4+B/2)sin(π/4-B/2)+m>0恒成立
所以m>2(sinB+1/2)^2+1/2
由（1）cosB≥1/2
所以0°<B≤60°,
所以0<sinB≤√3/2.
所以1<2(sinB+1/2)^2+1/2≤(5+2√3)/2.
因此要使不等式cos2B-4sin(π/4+B/2)sin(π/4-B/2)+m>0恒成立，
m>(5+2√3)/2
3.因x>0
所以不等式x^2-mx+9>0可化为
mx<x^2+9
m<x+9/x
因x+9/x≥2√(x*9/x)=6
所以x>0时，要使不等式x^2-mx+9>0恒成立，即
x>0时，m<x+9/x恒成立
所以m<6

Answer 2

余弦定理b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB
a/b = b/c,b^2 = ac
cosB = (a^2 + c^2 - ac)/(2ac) = (a^2+c^2)/(2ac) - 1/2
当a=c时，cosB = 1/2 为最小
2。cos2x = 1-2sin^2 x
4sin(pi/4 + x/2) = 4sin((x+pi/2)/2) = 4 sqrt(1-cos(x+pi/2))/2) = 4sqrt(1+sinx)
cos2x - 4sin(pi/4+x/2) +m = 1-2sin^2 x + 4sqrt(1+sinx) + m > 0
m > 2sin^2 x - 1 - 4sqrt(1+sinx)
取
2sin^2 x - 1 - 4sqrt(1+sinx)最小值为-5.43375

Answer 3

解：(1)2b=a+c 4b^2=a^2+c^2+2ac cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a^2+c^2-a^2/4-c^2/4-ac/2)/2ac=3/8(a/c+c/a)-1/4≥3/8*2-1/4=1/2

(2)由(1)cosB=1/2 B=60 cos120-4sin(45+30)+m>0 m>4sin75-cos120=√6+√2+1/2

(3)mx<x^2+9 m<x+9/x≥2√(x*9/x)=6 当且仅当x=3时。

Answer 4

∵a b c成等比数列
∴b²=ac
1.由余弦定理得b²=a²+c²- 2ac cosB
∴cos B =[a²+c²)- b²]／2ac=[(a²+c²)- ac]／2ac
=(a²+c²)／2ac- 0.5
又∵a²+c²≧2ac
∴(a²+c²)／2ac≧1
∴(a²+c²)]／2ac- 0.5≧1- 0.5=0.5
即cos B≧0.5
2. cos2x-4sin(π/4+x/2)+m=