Question

一道高中数学题！求大神解答！

求函数f(x)=x+m/(x+3),x∈【0，+无穷)d的最小值g(m)
我知道要分两段，答案我也知道，就是分段分错了，答案是分大于9一段，小于等于9一段。我分的是大于0，小于0，我就这里搞不清！求解答！
答案是
m/3, 当m<9时
g(m)=
2根号m-3,当m≥9时

Answer 1

解f'(x)=1-m/(x+3)^2
当m<9时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)单调递增,所以g(m)=f(0)=m/3
当m≥9时,令f'(x)=0得:x=根号m-3,此时,f(根号m-3)是极小值,也是最小值,所以此时
g(m)=f(根号m-3)=2根号m-3
综上 m/3,当m<9时
g(m)=
2根号m-3,当m≥9时
f'（x）=1-m/(x+3)^2=[(x+3)^2-m]/(x+3)^2
∵(x+3)^2≥9 因此是分类讨论m与9的关系

Answer 2

f'(x)=1-m/(x+3)^2
当m<9时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)单调递增,所以g(m)=f(0)=m/3
当m≥9时,令f'(x)=0得:x=根号m-3,此时,f(根号m-3)是极小值,也是最小值,所以此时
g(m)=f(根号m-3)=2根号m-3
综上 m/3,当m<9时
g(m)=
2根号m-3,当m≥9时

Answer 3

构造以下f(x)=x+3+m/(x+3)-3>=（根号2m）-3,当且仅当x+3=m/(x+3),即(x+3)^2=m,又x>0,故把m以9为分段点
最小值为m/3,m<9
（根号2m）-3，m>=9

Answer 4

求导
f'（x）=1-m/(x+3)^2=[(x+3)^2-m]/(x+3)^2
∵(x+3)^2≥9 因此是分类讨论m与9的关系