Question

如图，在三角形ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I分别为三角形ABC的外心和内心，求证：OI垂直AK

图片上传不了，解释下k是AI连接并延长交圆上的点

Answer 1

设AK与BC的交点为E。

根据角分线性质可知BE:EC=AB:AC=2:3，而BE+EC=5，解得BE=2，EC=3

如图，分别取AB、AC中点D、F，连接DI、DO、DF、OA、OF

∵BD=AB/2=2，∴BD=BE。又∵I是内心，∴BI是∠ABC的平分线，于是ΔBDI≌ΔBEI(角边角)

于是ID=IE。设ID=IE=x

根据角分线性质可知AI:IE=AB:BE=2，于是AI=2IE=2x，AE=3x

∵AB:AI=4:(2x)=2:x，AC:AE=6:(3x)=2:x，∴AB:AI=AC:AE

又∵∠BAI=∠CAE，∴ΔBAI∽ΔCAE，

∴∠ABI=∠ACB，BI:AB=CE:CA=1/2，即BI=2

∴BI=BD=BE，∠BDI=∠BID=∠BIE

于是∠ABI=180°-∠BDI-∠BID=180°-∠BIE-∠BID=∠AID

于是∠AID=∠ABI=∠ACB

∵D、F是AB、AC中点，∴DF∥BC，∴∠AFD=∠ACB

∵O是ΔABC的外接圆心，D是外接圆的弦的中点，∴OD⊥AB，同理OF⊥AC

于是A、D、O、F四点共圆，∴∠AOD=∠AFD=∠ACB

于是∠AID=∠AOD，∴A、D、I、O四点共圆

∴∠AIO=∠ADO=90°，即OI垂直AK