Question

证明：A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，则I-BA可逆

设C为I-AB的逆矩阵，I-BA=I-B((I-AB)C)A=……
这样接着证下去，

我曾经问过，回答是：不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx，则AB为Cxy=EAxuBuy（E表示累加u=1~n），BA为Dxy=EBxvAvy(E，表示累加v=1~n),若1-AB可逆则【1-AB】不为0,又因为1是一个单位矩阵，观察易知对角线上（1-AB）与（1-BA）是一样的，而，对角线两旁的元素是对称的，若使用矩阵行列变化可发现是两个相同的矩阵，如是得1-BA是可逆的。换种答法
题目只是这样，没有说到A,B是否可逆
条件是A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，
证明I-BA可逆

Answer 1

假设I-BA不可逆，则存在x0不等于0，且(I-BA)x0=0
所以A(I-BA)x0=(I-AB)Ax0=0
因为I-AB可逆，所以得Ax0=0
那么(I-BA)x0=x0-BAx0=x0不等于0，与上矛盾
所以命题成立

Answer 2

因为I-AB可逆，所以(I-AB)(I-AB)^(-1)=I
即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I
B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I
(I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I
故I-BA也可逆，且(I-BA)^(-1)=I-B(I-AB)^(-1)A

Answer 3

A，B可逆吗？
如果B可逆，我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵

反例：
A=
(1 0)
(1 0)
B=
(0.5 0.5)
( 0 0 )
则可证明I-AB可逆，而I-BA不可逆

Answer 4

只能证明I-AB可逆，而I-BA不可逆
谢谢