证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆
设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……这样接着证下去,我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=E...
设C为I-AB的逆矩阵,I-BA=I-B((I-AB)C)A=……
这样接着证下去,
我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA为Dxy=EBxvAvy(E,表示累加v=1~n),若1-AB可逆则【1-AB】不为0,又因为1是一个单位矩阵,观察易知对角线上(1-AB)与(1-BA)是一样的,而,对角线两旁的元素是对称的,若使用矩阵行列变化可发现是两个相同的矩阵,如是得1-BA是可逆的。换种答法
题目只是这样,没有说到A,B是否可逆
条件是A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,
证明I-BA可逆 展开
这样接着证下去,
我曾经问过,回答是:不妨设A中每个元素为Axy,B中每个元素为Byx,则AB为Cxy=EAxuBuy(E表示累加u=1~n),BA为Dxy=EBxvAvy(E,表示累加v=1~n),若1-AB可逆则【1-AB】不为0,又因为1是一个单位矩阵,观察易知对角线上(1-AB)与(1-BA)是一样的,而,对角线两旁的元素是对称的,若使用矩阵行列变化可发现是两个相同的矩阵,如是得1-BA是可逆的。换种答法
题目只是这样,没有说到A,B是否可逆
条件是A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,
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4个回答
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因为I-AB可逆,所以(I-AB)(I-AB)^(-1)=I
即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I
B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I
(I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I
故I-BA也可逆,且(I-BA)^(-1)=I-B(I-AB)^(-1)A
即(I-AB)^(-1)-AB(I-AB)^(-1)=I
B(I-AB)^(-1)-BAB(I-AB)^(-1)=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]=B
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)]A=BA
(I-BA)[B(I-AB)^(-1)A]-I=BA-I
(I-BA)[I-B(I-AB)^(-1)A]=I
故I-BA也可逆,且(I-BA)^(-1)=I-B(I-AB)^(-1)A
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A,B可逆吗?
如果B可逆,我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵
反例:
A=
(1 0)
(1 0)
B=
(0.5 0.5)
( 0 0 )
则可证明I-AB可逆,而I-BA不可逆
如果B可逆,我能证明BCB^(-1)是I-BA的逆阵
反例:
A=
(1 0)
(1 0)
B=
(0.5 0.5)
( 0 0 )
则可证明I-AB可逆,而I-BA不可逆
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只能证明I-AB可逆,而I-BA不可逆
谢谢
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