Question

几道高中数学函数对称性的题目 高手来

（1） 已知f（x+1）是偶函数 ，则函数y=（2x）的图像的对称轴是什么？？？
我觉得对称轴是x=1 ，但答案解析却是二分之一 ，答案里提出了一个2 为什么提出2
（2） 已知 f（1/2+x)+f（1/2-x）=2 为什么得出f（x）关于点（1/2,1) 对称 我看了一下关于点对称的函数关系式性质 我怎么觉得是f（x+1）关于点（1/2,1) 对称
why？
最好能再给我补充一些函数对称的 知识 我预习 所以又这些疑问
求详细解析
顺便告诉我
f(x)=a的x次方+a的负x次方 图像和
f(x)=a的x次方-a的负x次方 图像
是怎样的 给了再加

Answer 1

1.举个例子，f（x+1）是偶函数，则f（0）=f（2），所以f（2*（1/2-1/2））=f(2*(1/2+1/2))，即g（x）=f（2x）的对称轴是x=1/2，严格的证明自己推吧。

2.f(1/2+x)-1 + f(1/2-x)-1=0，这样就能看出来吧。或者这样看若f（1/2+x）=y，则f（1/2-x）=2-y，这两点分别为（1/2+x,y） (1/2-x,2-y)，关于（1/2,1）对称。

图像红色的那条是e^x+e^(-x)，蓝色的那条是e^x-e^(-x)，是拿matlab话的应该没有问题

纯手写不容易，求给分！

Answer 2

看来楼主喜欢严格证明啊。下面给一些证明吧。
1. 由f(x)对称轴为x=a推出f(a-x)=f(a+x)。
原命题等价于，若任意（x1,y1）在曲线y=f(x)上，且（x1,y1）关于x=a对称的点为（x2,y2），则（x2,y2）也在曲线y=f(x)上。
则y1=y2且x2=2a-x1。即有f(x1)=f(x2)即f(x1)=f(2a-x1)。令t=x1+a，得到f(a+t)=f(a-t)。把t换成x即可。
其实是绕了很大圈子，但这种证明方法在很多地方可以用。
2. 你的第一个问题，上面都说得很好了，坐标缩放的问题。换个思路吧。由偶函数条件，f(x+1)=f(-x+1)。设y=f(2x)对称轴x=a，则f[2(a+x)]= f[2(a-x)]，即f(2a+2x)=f(2a-2x)。令t=2x，得到f(t+2a)=f(t-2a)。所以a=0.5。
3. 第二个问题，参照1中的证明，证如下命题：若任意（x1,y1）在曲线y=f(x)上，且（x1,y1）关于（1/2,1）对称的点为（x2,y2），则（x2,y2）也在曲线y=f(x)上。
把两个点代入题设的关系式，再结合两个点之间的关系。其实和1的思路是一样的。
突然发现楼主好像会用这种方法。。。。提到两个等式，在 f（x）=2b-f（2a-x）中，令x=t+a,该一样的都一样了。。。。
4. 第三个问题，推荐答案的图已经给出来了。补充一下，他是a>1的形状。0<a<1时，红色的图还是一样的，蓝色的图沿y轴翻过去，就是斜向右下。
分析函数曲线形状高中要用到的知识点：单调性，极值，奇偶性，对称性，渐近线，切线，差不多就这些了吧。具体的一时半会说不清楚，慢慢学吧。要看具体图，建议用matlab画，大学里用得很多。用excel应该也能画吧。
打字真累！不一定要采纳我的，但求别不处理问题，太伤人心了。

Answer 3

先说第一题 你得到的对称轴x=1 是根据f（x+1）是偶函数这一条件把图像向右平移一个单位长度得到f（x）得出的吧 但是 函数y=（2x）已不是原来的函数了 先认准他现在是一个新的函数 只不过还符合f（x+1）是偶函数这里的法则罢了这里的 2x 相当于f（x+1）中的x 即数学中所说的元 即y=（2x+1）也是偶函数 再经化简y=（2（x+0.5)）相当于y=（2x）函数图象向左平移了0.5个单位长度才是偶函数 所以y=（2x）函数图象应是二分之一 再来说第二题 记得f
（a+x)+f（a-x）=0时f（x）关于点(a.0)a是任意的 说明这个函数图象是分布在x轴两侧 关于(a.0)点对称的不管x取何值在距离a点左右两侧相同单位长度（即+x或—x） 函数图像上都存在两点关于 (a.0)点对称 类比于这道题我相信你可以理解 另外告诉你写一些抽象函数题不要来回化简这样往往使自己进入误区 要靠图象来解决

Answer 4

（1）是1/2，因为初f（x+1）是偶函数，后来的f（2x）是经过初函数向右平移一个单位再缩小2倍而转化而来的，记住左加右减，还有函数的伸缩变换。
（2）这也是形如f（h-x）+f（h+x）=b类的函数，他的对称点是（h，b/2），可以证出来的，你先看看，不懂再问我我会说的详细点，祝学习进步！

Answer 5

一题；f（x+1）是偶函数, 即 f(x+1) 是关于x的偶函数，f(x+1)关于 x = 0 对称
可以看成 f(x+1) 关于 x+1 = 1 对称。
所以 f(x) 关于 x = 1 对称
f(2x) 关于 2x = 1 对称，即 关于 x = 1/2 对称。

二题；如果关于点(a,b)对称，则所得这两个函数对应点纵坐标值(函数值)的和再除以2等于b，横坐标也同理。弄清两个函数的关系利用平移解释更易理解，把函数g(x)图象沿着x轴正方向平移h个单位，沿着y轴正方向平移k个单位，图象与f(x)的图象重合，而f(x)的图形关于(h,k)成中心对称，g(x)的图象自然关于原点对称
理解二:f(x)的图象关于（(h,k)中心对称等价于f(x+h)+f(h-x)=2k(定理）

希望采纳 谢谢

追问

二题 给个证明 但我是根据 若F(X)关于点ab对称则 f（x）=2b-f（2a-x）做的
不知道那定力 这两个等式有联系吗