Question

已知向量m=(根号3sinx/4，1)，向量n=(cosx/4，cos²x/4）函数f(x)=mn

在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足acosC+1/2c=b，求f(2B)的取值范围

Answer 1

f(x)=mn=√3sin(x/4)cos(x/4)+cos²(x/4)
=√3/2*sin(x/2)+1/2*[cos(x/2)+1]
=√3/2*sin(x/2)+1/2*cos(x/2)+1/2
=sin(x/2+30°)+1/2
∵acosC+1/2*c=b
∴2abcosC+bc=2b²
而a²+b²-c²=2abcosC
∴a²+b²-c²+bc=2b²
那么a²-b²-c²+bc=0，即b²+c²-a²=bc
∴cosA=(b²+c²-a²)/2bc=bc/2bc=1/2
∴A=60°
∴B+C=180°-A=120°
那么C=120°-B∈(0,90°)
∴30°<B<90°，那么60°<2B<180°
∴90°<2B+30°<210°
而f(2B)=sin(x/2+30°)+1/2=sin(B+30°)+1/2
∴-1/2<sin(B+30°)<1
那么0<sin(B+30°)+1/2<3/2
即0<f(2B)<3/2，即f(2B)的取值范围为(0,3/2)