Question

求3道高数题（级数+微分方程）

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Answer 1

第一题：
首先对待求通解形式进行变形，两边同时取自然对数得到：lny=g(1/x,C)………………※
再在两边同时关于x求导得到：(1/y)(dy/dx)=(-1/x²)g`(1/x,C)
现在来分析g`(1/x,C)；根据已知条件把通解y=g(x,C)代入y`=f(x,y)得到：
g`(x,C)=f[x,g(x,C)]
作代换x=1/t得到：
g`[(1/t),C]=f{(1/t),g[(1/t),C]}
将符号换为x不改变等式的性质：
g`[(1/x),C]=f{(1/x),g[(1/x),C]}=f[(1/x),lny]………………这里注意要引用※式
综上整理得到方程：x²(dy/dx)=-yf[(1/x),lny]

第二题：
整理方程，得到关于dx/dy的形式，得到：
(dx/dy)-(2/y)x=(-2/y³)x²
这是以y为自变量，x为函数的伯努利方程，这里做代换z=1/x就可以转换为一阶微分方程利用公式求解，这里求解过程就省略了。

第三题：
C项，注意其逆否命题：如果结论中的和级数和差级数都收敛，则两级数都收敛。这个命题可以利用收敛级数的性质证明。
不好意思，D项的反例还没找出来……