Question

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，

1）求证：FG= （AB+BC+AC）（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，如图（2）；BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，如图（3），则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由。

Answer 1

（1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证△AGC≌Rt△CGN，可得AC=CN，AG=NG，同理可证：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可．
（2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代换即可．
（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF=

（AC+BC-AB）
解答：（1）FG=12（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=12（AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴Rt△AGC≌Rt△CGN
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=12MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=12MN=12（AB+AC-BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=12（AC+BC-AB）．

Answer 2

2）答：FG=1 2 （AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴Rt△AGC≌Rt△CGN
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=1 2 MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=1 2 MN=1 2 （AB+AC-BC）；
（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=1 2 （AC+BC-AB）．

Answer 3

第一问
由于三角形全等（△ABD和△MBD)
所以AB=MB 同理AC=NC
即AB+BC+AC=MN
又由三角形全等 FG分别是AM AN中点
FG为△AMN的中位线
所以FG=1/2MN=1/2AB+BC+AC

第二问不会 同问