Question

分段函数的复合函数的表达式计算方法

比如：
f(x)= |2 |x|<1 g(x)= |0, |x|<=2
|0 |x|>=1 |1, |x|>1
则f(g(x))=? g(f(x))=?
解题中，他的答案里，有一步：|g(x)|<1 ↔ |x|<=2；|g(x)|>=1 ↔ |x|>2
这是怎么就算出来的，求详细

Answer 1

题目有错，当x=1.5的时候，g(x)有两个值，这不符合函数的定义。原题应该是
g(x)= |0, |x|<=1
|1, |x|>1

如果g(x)的确是这样定义的，那么
|g(x)|<1 ↔ -1<g(x)<1, 而g(x)在这个范围里的只有 g(x)=0, 换句话说 -1<g(x)<1↔g(x)=0,
再由g(x)的定义 g(x)=0 ↔ |x|<=1
|g(x)|>=1 ↔ g(x)<=-1或g(x)>=1, 而g(x)在这个范围里的只有 g(x)=1, 换句话说
g(x)<=-1或g(x)>=1 ↔g(x)=1, 再由g(x)的定义 g(x)=1 ↔ |x|>1