Question

由函数导数判断函数图像。（过程要详细）

我的计算过程，f'(x)=e^(-x)+x[-e^(-x)]=e^(-x)-xe^(-x)
f''(x)=-e^(-x)-e^(-x)+xe^(-x)=（2-x）e^(-x)
令f''(x)=0,解得x=2,x属于（0，4）
当x<2时，y''<0，函数在(0,2）下凹
当x>2时，y''>0,函数在（2，4）上凹

我这样做对不对？





Answer 1

1.首先呢，求导，这确实是必不可少的，但实际上，对于求凹凸性来说，最终还要靠中点定位来做

2.y‘=（1-x）e^-x，在这里需要说明一下，e^-x的导数是-e^-x,注意将里面-x的负号转移出来

3.通过这，只能判断函数在（0,1）内单增，在（1,4）内单减，不能判断凹凸性！

4.接下来是重点。分别求出 f（0）、f（1）、f（4），将这三个点连成直线段，分别求出当x=1/2,x=5/2时在直线段上对应得y值，假设它们分别为g（1/2),g(5/2)

然后求出f(1/2),将其与g（1/2)比较大小，同时也将f(5/2)与g（5/2)比较一下。

5.由于上面的计算的比较麻烦，让我偷下懒，在这里举个简单的例子，以助理解。求f（x）=x^2在（0，1）上的凹凸性。按上面的方法，会发现f（1/2)=1/4,而g（1/2)=1/2,所以函数为凹函数。

附图一张，以助理解。。

 

 

 

Answer 2

对于这种含有e的指数函数图象的辨别，用不着这么麻烦，况且还是选这题，我这里有更简单的方法：
我们求得，f'(x)=(1-x)e^(-x)
f''(x)=(2-x)e^(-x)
...
f(n)(x)=(n-x)e^(-x)
要求的是在区间（0,4）内，原函数的凹凸性，而我们知道，e^(-x)的图象是恒>0的，所以在x轴上方，我们又知道，f'(x)=k，是指原函数图象上任何一点的切线斜率，所以1-x在区间（0,4）上是先增后减，所以可以看作f'(x)图象在区间（0,4）上是抛物线，且开口向下，所以，说明在区间（0,4）上的原函数图象是凸的。

Answer 3

求出导函数，得右边是多少，再根据此画出图形，就可以了

追问

你解题的详细过程是什么？
我是这样算的：
y=x*e^(-x)
y'=(1+x)*e^(-x)
y''=-x*e^(-x)
这样当x在（0，4）内时，y''都是小于0的，所以我选择B，但是是错的

追答

别闹，先要求出导函数，再画出导函数的大概图像，在根据正负画出原函数的图像，这样就可以选了

追问

函数图像已经画出来了，这样应该可以判断了吧？但是我考试的时候不可能每个题都去画图啊，那样时间就不够用了

追答

这就要你练速度了，我们老师说的