由函数导数判断函数图像。(过程要详细)
我的计算过程,f'(x)=e^(-x)+x[-e^(-x)]=e^(-x)-xe^(-x)f''(x)=-e^(-x)-e^(-x)+xe^(-x)=(2-x)e^(-x...
我的计算过程,f'(x)=e^(-x)+x[-e^(-x)]=e^(-x)-xe^(-x)
f''(x)=-e^(-x)-e^(-x)+xe^(-x)=(2-x)e^(-x)
令f''(x)=0,解得x=2,x属于(0,4)
当x<2时,y''<0,函数在(0,2)下凹
当x>2时,y''>0,函数在(2,4)上凹
我这样做对不对? 展开
f''(x)=-e^(-x)-e^(-x)+xe^(-x)=(2-x)e^(-x)
令f''(x)=0,解得x=2,x属于(0,4)
当x<2时,y''<0,函数在(0,2)下凹
当x>2时,y''>0,函数在(2,4)上凹
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1.首先呢,求导,这确实是必不可少的,但实际上,对于求凹凸性来说,最终还要靠中点定位来做
2.y‘=(1-x)e^-x,在这里需要说明一下,e^-x的导数是-e^-x,注意将里面-x的负号转移出来
3.通过这,只能判断函数在(0,1)内单增,在(1,4)内单减,不能判断凹凸性!
4.接下来是重点。分别求出 f(0)、f(1)、f(4),将这三个点连成直线段,分别求出当x=1/2,x=5/2时在直线段上对应得y值,假设它们分别为g(1/2),g(5/2)
然后求出f(1/2),将其与g(1/2)比较大小,同时也将f(5/2)与g(5/2)比较一下。
5.由于上面的计算的比较麻烦,让我偷下懒,在这里举个简单的例子,以助理解。求f(x)=x^2在(0,1)上的凹凸性。按上面的方法,会发现f(1/2)=1/4,而g(1/2)=1/2,所以函数为凹函数。
附图一张,以助理解。。
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对于这种含有e的指数函数图象的辨别,用不着这么麻烦,况且还是选这题,我这里有更简单的方法:
我们求得,f'(x)=(1-x)e^(-x)
f''(x)=(2-x)e^(-x)
...
f(n)(x)=(n-x)e^(-x)
要求的是在区间(0,4)内,原函数的凹凸性,而我们知道,e^(-x)的图象是恒>0的,所以在x轴上方,我们又知道,f'(x)=k,是指原函数图象上任何一点的切线斜率,所以1-x在区间(0,4)上是先增后减,所以可以看作f'(x)图象在区间(0,4)上是抛物线,且开口向下,所以,说明在区间(0,4)上的原函数图象是凸的。
我们求得,f'(x)=(1-x)e^(-x)
f''(x)=(2-x)e^(-x)
...
f(n)(x)=(n-x)e^(-x)
要求的是在区间(0,4)内,原函数的凹凸性,而我们知道,e^(-x)的图象是恒>0的,所以在x轴上方,我们又知道,f'(x)=k,是指原函数图象上任何一点的切线斜率,所以1-x在区间(0,4)上是先增后减,所以可以看作f'(x)图象在区间(0,4)上是抛物线,且开口向下,所以,说明在区间(0,4)上的原函数图象是凸的。
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求出导函数,得右边是多少,再根据此画出图形,就可以了
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追问
你解题的详细过程是什么?
我是这样算的:
y=x*e^(-x)
y'=(1+x)*e^(-x)
y''=-x*e^(-x)
这样当x在(0,4)内时,y''都是小于0的,所以我选择B,但是是错的
追答
别闹,先要求出导函数,再画出导函数的大概图像,在根据正负画出原函数的图像,这样就可以选了
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