已知a+b=1,a²+b²=2,求a&sup7+b&sup7的值
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解:a+b=1,a²+b²=2.
则(a+b)²=a²+b²+2ab,即1²=2+2ab,ab= -1/2.
(a+b)(a²+b²)=a³+b³+ab(a+b),即1x2=a³+b³+(-1/2)x1, a³+b³=5/2;
(a²+b²)²=a^4+b^4+2(ab)²,即2²=a^4+b^4+2x(1/4), a^4+b^4=7/2.
∴a^7+b^7=(a³+b³)(a^4+b^4)-(ab)³(a+b)=(5/2)x(7/2)-(-1/2)³x1=71/8.
则(a+b)²=a²+b²+2ab,即1²=2+2ab,ab= -1/2.
(a+b)(a²+b²)=a³+b³+ab(a+b),即1x2=a³+b³+(-1/2)x1, a³+b³=5/2;
(a²+b²)²=a^4+b^4+2(ab)²,即2²=a^4+b^4+2x(1/4), a^4+b^4=7/2.
∴a^7+b^7=(a³+b³)(a^4+b^4)-(ab)³(a+b)=(5/2)x(7/2)-(-1/2)³x1=71/8.
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