Question

已知直线x+y=a与圆x平方+y平方=3相交于A、B两点，O为原点，若向量OA乘以向量OB=2，求实数a的值

Answer 1

设AB的中点为M
则：向量OA=向量OM+向量MA
向量OB=向量OM+向量MB
而：向量MB=-向量MA
所以：向量OA*向量OB=(向量OM+向量MA)*(向量OM-向量MA)=|OM|^2-|MA|^2
所以：|OM|^2-|MA|^2=2 ---(1)
而：OM垂直AB, OA=园半径=根号3
所以：|OM|^2+|MA|^2=3 ---(2)
(1),(2)两式相加得：2|OM|^2=5, |OM|=根号(5/2)
直线方程x+y=a, 变形为：x+y-a=0
点O到直线的距离即OM, 据点到直线的距离公式，
得：|OM|=|-a|/(根号2)=|a|/(根号2)
所以：|a|/(根号2)=根号(5/2)
|a|=根号5
a=+ -根号5

Answer 2

已知直线x+y=a与圆x²+y²=3，相交于A、B两点，O为原点，若向量OA•OB=2，求实数a的值
解：将直线方程y=a-x代入园的方程得x²+(a-x)²-3=2x²-2ax+a²-3=0，设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)则由韦达定理得：
x₁+x₂=a；
x₁x₂=(a²-3)/2；
y₁y₂=(a-x₁)(a-x₂)=a²-a(x₁+x₂)+x₁x₂=a²-a²+(a²-3)/2=(a²-3)/2；
OA=(x₁，y₁)；OB=(x₂，y₂)；
故OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(a²-3)/2+(a²-3)/2=a²-3=2；∴a²=5，a=±√5.