Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）.
试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.

Answer 1

连接AC
（1）①证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD,∠ABN=∠DAN
又因为AN=AN
所以△ABN≌△ADN
②解：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC,∠BAC=∠DAC.
∵∠ABC=60°∴△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°=∠DAC=∠ABC
∴∠BAD=120°
延长DA，过点M作MP⊥DA ,垂足为P
∴∠MPA=90°
∵∠MAP+∠MAD=180°
∴∠MAP=60°
∴sin∠MAP=MP/AM=(根号三）/2
∴MP/4=(根号三)/2
∴MP=二倍根号三
连接BD,则∠ABD=∠CBD=1/2乘60=30°
∴tan30°=（根号三）/2
∴M到AD的距离为二倍根号三，tanα的值为30°
（2）分类讨论
①若DA=DN
即N在点C上
此时，x值为12
②若NA=ND
即N在AD中垂线上
此时，x值为9
③若AD=AN
即AN=6
∴NC=(六倍根号二）-2
∵AD∥BC
∴△ADN∽△CMN
∴△CMN为等腰三角形
且CM=CN=（六倍根号二）-2
∴x为12-[（六倍根号二）-2]=18-六倍根号二
综上所述当x为12或9或（18-六倍根号二）时，△ADN为等腰三角形.

Answer 2

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=23．

∴点M到AD的距离为23．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=MHDH=
2
38=
34，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=34；

（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=62．
∴CM=CN=AC-AN=62-6．
故x=12-CM=12-（62-6）=18-62．
综上所述：当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形．