Question

在三角形ABC中，角B=22.5度，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE垂直AC，垂足为E，AD垂直BC，垂足...

在三角形ABC中，角B=22.5度，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE垂直AC，垂足为E，AD垂直BC，垂足为D，AD交PE于F点，求证DF=DC

Answer 1

证明：连接AQ因为 QP是AB的垂直平分线
所以 QA=QB（垂直平分线性质定理)
即 △QAB为等边三角形
所以 ∠BAQ=∠B=22.5
所以 ∠AQD =∠B+∠BAQ=45(三角形外角定理)
又因为 AD⊥BC
所以 △ADQ为等腰直角三角形
所以 DQ=DA (1)
因为 在△DQF和△EAF中，∠QFD=∠EFA(对角)
∠QDF=∠AEF=90
所以 △DQF和△EAF是相似直角三角形(角角)
所以 ∠DQF=∠EAF，即∠DQF=∠DAC (2)
由(1)(2)可得△DQF与△DAC是全等直角三角形(边角边)，
所以 DF=DC

Answer 2

证明：连接AQ因为 QP是AB的垂直平分线
所以 QA=QB（垂直平分线性质定理)
即 △QAB为等边三角形
所以 ∠BAQ=∠B=22.5
所以 ∠AQD =∠B+∠BAQ=45(三角形外角定理)
又因为 AD⊥BC
所以 △ADQ为等腰直角三角形
所以 DQ=DA (1)
因为 在△DQF和△EAF中，∠QFD=∠EFA(对角)
∠QDF=∠AEF=90
所以 △DQF和△EAF是相似直角三角形(角角)
所以 ∠DQF=∠EAF，即∠DQF所以 DF=DC =∠DAC (2)
由(1)(2)可得△DQF与△DAC是全等直角三角形(边角边)，

Answer 3

连接AP,因为AB的垂直平分线交AB于点Q，所以三角形为等腰三角形，角APD等于22.5+22.5等于45，又因为AD垂直于PD所以角PAD等于角APD等于45,即AD等于PD，因为角FAE等于角DAC，角AEP等于角ADC等于90，所以三角形AFE相似于三角形ACD，即角C等于角AFE，因为角AFE等于角PFD，所以角C等于角PED，又因为角ADP等于角ADC等于90，所以三角形PFD全等于三角形ACD，所以DF等于DC