Question

一道数学解析几何题.求数学大神指教.

如图,矩形ABCD的顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,以A为圆心,AD为半径的圆与AB交于E(圆弧DE为圆在矩形内的部分)且AB=2,AD=1,在圆弧DE上确定点P的位置(P异于D、E两点）使过P的切线l平分矩形ABCD的面积:若动圆M与直线l及边DC都相切，且圆M为矩形内部面积最大的圆，经过点B做直线TS交圆M于T、S两点，且向量AS点乘向量AT=301/144，求直线TS的方程。

求详细过程和TS的方程。

感谢大神们。

Answer 1

我这里考虑了一个方法，看起来挺麻烦，供你参考。
因直线L平分矩形ABCD面积，那它应经过该矩形中心点O，AO＝（√-（5））/2，；又因L与单位圆弧相切于P点，AP＝1，故可按直角三角形求得∠PAO余弦值为（2/√-（5）），按三角函数和的公式进而可求得∠PAB（其正弦值为4/5），即L与CD边的夹角余弦为4/5（该半角正切为1/3），L与AB边交点到A点的距离为5/3（同样L与CD边交点到C点的距离也是5/3。
圆M与直线L相切，同时是它是矩形内面积最大的圆，那么圆M与矩形边BC和CD也应相切，它的圆心位于直角C的平分线上（当然也在L与CD线夹角的平分线上），由L与CD、BC围成的三角形可求出其内切圆M的半径=5/12（可考虑L与CD交点到C点的距离及该线段两端半角与圆M半径的关系）。
为简便，先将坐标原点平移至B点。直线BTS方程假定为Y＝-k*X，圆M方程可表示为（X+5/12）2+（Y-7/12）2＝（5/12）2，两者交点坐标X满足（X+5/12）2+（-k*X-7/12）2＝（5/12）2，即（1+k2）*X2+（5+7*k）*X/6+（7/12）2＝0。根据韦达定理可得该方程两个根X1和X2的关系：X1+X2＝-（5+7*k）/6(1+k2)，X1*X2＝（7/12）2/（1+k2）,后面计算可直接取用该两式。
在以A为原点的坐标系中，向量AT与AS点积为：（2+X1）*（2+X2）+（-k*X1)*(-k*X2)=301/144，即 4+2*(X1+X2)+(1+k2)*X1*X2=301/144，将前面所得X1与X2关系代入该方程并化简得到关于未知数k的方程: 27k2-28k+24=0，解得k，即可求得直线TS的方程（通过点B(2,0)，斜率为-k）。似乎k不是一个较整齐的数，我求得的结果是 k＝（14±√-(7))/27，因k不是唯一，直线方程应有两个。

Answer 2

点乘向量是什么东西

追问

向量AS与向量AT的数量积