Question

对非负整数n。满足方程x+y+2z=n的非负整数(x、y、z)的组数为An(1)求A3的值(2)求A2006的值

Answer 1

A3=Z为0+Z为1＝4 +2＝6
A2006＝Z为0+Z为1+。。。。+Z为1003
＝2007+2005+2003+。。。。。。。。+5+3+1
＝1004^2

Answer 2

对任意n，z的取值有0, 1, 2, ... , [n/2]，（[x]是高斯函数，表示对x取整），共1+[n/2]个取值；
对z的每一种取值，有x+y=n-2z，x的可能取值为0, 1, 2, ... , n-2z，共n-2z+1种取值。
对x的每一种取值，y都有唯一一种取值。
故A_n=∑(n-2z+1)（z=0..[n/2]），
当n为奇数时，[n/2]=(n-1)/2，
A_n=∑(n-2z+1)（z=0..(n-1)/2）
=∑(n+1)-2∑z（z=0..(n-1)/2）
=(1+(n-1)/2)*(n+1)-(1+(n-1)/2)*(n-1)/2
=(n+1)(n+3)/4，
所以A_3=6, A_2001=2002*2004/4=1003002