Question

已知△ABC是圆O的内接三角形,∠BAC的平分线AD交BC于点D，AE⊥BC，垂足是E，求证：∠OAD=∠EAD。

提示：分类讨论。（图是我自己画的，如果有其他可能性，也请求求出来）

Answer 1

证明：

（1）当E在BC上时，如上图

延长AO交⊙O于G，连接BG

∴∠ABG=90°，同时∠AGB=∠ACB

∴△ABG∽△AEC

∴∠BAG=∠EAC

又有∠BAD=∠CAD

∴∠BAD-∠BAG=∠CAD-∠EAC

即∠OAD=∠EAD

 

（2）当E在BC延长线上时，如下图

延长AO交⊙O于I，连接BI

则∠AIB=∠ACB（AIBC四点共圆，外角=内对角）

同时∠ABI=90°

∴△ABI∽△AEC

∴∠IAB=∠EAC

∴∠OAD=∠EAD

综上∠OAD=∠EAD

 

 

 

Answer 2

对于AO在角BAC的两边AB和AC之间，延长AO交圆于F，连接BF，A,B,C,F共圆，角ACB=角ACE,角ACB=角AFB，而AF为直径，角ABF=90度=角AEC，所以角BAF=角CAE，∠OAD=∠BAD-∠BAF=∠CAD-∠CAE=∠EAD
对于对于AO在角BAC的两边AB和AC之外，假设AB在AO与AC之间，如果AC在AB与AO之间也同理。F与C分别在AB的两侧，则角BCA+角BFA=180度，而圆心与C分别在AB两侧，ACB为钝角，E点在BC延长线上，角ACB+角ACE=180度，所以角BAF=角CAE，∠OAD=∠BAD+∠BAF=∠CAD+∠CAE=∠EAD