Question

关于微分方程中 绝对值的问题

原方程为：xy‘-ylny=0 分离变量得：dy/（ylny）=dx/x 再解得：dlny/lny=dln|x| 这时候虽然y大于0但是不能保证lny大于0，
dln|lny|=dln|x| 两边积分得：ln|lny|=ln|x|+lnc=ln|cx| 于是 ln|y|=+-cx 则 y=+-e^(+-cx)
but,感觉明显那不对劲，查看了答案书上得：dy/（ylny）=dx/x直接就等价于ln（lny）=lncx 即y=e^cx
很迷惘，解微分方程的时候，什么时候的绝对值要加上，什么时候的不加绝对值，上边的x始终没加绝对值符号，y也是
原方程为:xy‘-ylny=0 分离变量得:dy/(ylny)=dx/x 再解得:dlny/lny=dln|x| 这时候
还有：分离变量：dy/(ay^2)=dx/(1-x-a)答案上是说，积分得-1/ay=-ln（1-a-x）-c1 即 y=1/（c+aln|1-a-x|） ，c=ac1；
即后边的1-a-x为什么会多个绝对值啊，想不通，呵呵，高手能总结下微分方程中绝对值的使用吗，呵呵

Answer 1

本人也是懵懵懂懂，以下是鄙人理解：
总得来说，都是要加绝对值的，但有时候绝对值只是在中间产物，所以就直接省去了。
xy‘-ylny=0
—积分— ln( |lny| ）=ln|x| + c
—e^— |lny| = e^c*|x| --> |lny| = C*|x| {C = e^c > 0}
--去掉|x|-- 是个分段函数 x > 0 , |lny| = Cx; x < 0 |lny| = -Cx;

--去掉|lny|--- x > 0 , lny = (+-)Cx; x < 0 lny = (-+)Cx
--显然—— 两个分段函数是一样的，合并 --》 lny = (+-)Cx { C = e^c > 0， x ！= 0}
--再化简--- A = +- C --> A != 0 ----> lny = Ax { A != 0 x !=0 } 即 lny = Cx { C != 0 ， x ！=0}
---e^---- y = e^(Cx) (C!= 0， x ！= 0)
而 x= 0 正是传说中的lost function
so y = e^(Cx) { C!=0 我觉得要加上这个条件吧？？ }
PS：”再解得：dlny/lny=dln|x|“ 这个是有错吧？？

Answer 2

太复杂