Question

0<α<π/2,0<β<π/2，且sinα/cosβ=根号2，tanα/tanβ=根号3，求cosα，cosβ的值

不好意思。题目改为： 0<α<π/2,0<β<π/2，且sinα/cosβ=根号2，tanα/cotβ=根号3，求cosα，cosβ的值

Answer 1

tanα/tanβ=sinα/cosα*sinβ/cosβ
=(sinα/cosβ)*(sinβ/cosα)=根号3, 带入(sinα/cosβ)=根号2
得
sinβ/cosα = 根号3/根号2
sinα/cosβ = 根号2
两等式平方得
sin²β=3/2*cos²α=>cos²α=2/3sin²β
sin²α=2cos²β=2(1-sin²β)
所以
sin²α+cos²α=1=2/3sin²β+2(1-sin²β)=2-4/3sin²β
sin²β=3/4
sinβ=(根号3)/2 (因为锐角舍弃负值)
cosβ=1/2
cos²α=2/3sin²β=3/4*2/3=1/2
cosα=(根号2)/2

Answer 2

解：由sinα/cosβ=√2，tanα/tanβ=√3得：sinα=√2cosβ，sinα*cosβ=√3cosαsinβ,
√2cos²β=√3cosα*√(1-cos²β)，√2cos²β=√3*√(1-2cos²β)*√(1-cos²β)，
2cos²β=3(1-2cos²β)(1-cos²β),6(cosβ)^4-11cos²β+3=0，
(2cos²β-3)(3cos²β-1)=0，因为0<α<π/2,0<β<π/2，所以cosβ=1/√3，
cosα=√(1-2cos²β)=1/√3。
题目好像 有问题，两个条件不能同时满足。解题方法就是这样。

Answer 3

tanα/tanβ=sinα/cosα*sinβ/cosβ
=(sinα/cosβ)*(sinβ/cosα)=根号3, 带入(sinα/cosβ)=根号2
得
sinβ/cosα = 根号3/根号2
sinα/cosβ = 根号2
两等式平方得
sin²β=3/2*cos²α=>cos²α=2/3sin²β
sin²α=2cos²β=2(1-sin²β)
所以
sin²α+cos²α=1=2/3sin²β+2(1-sin²β)=2-4/3sin²β
sin²β=3/4
sinβ=(根号3)/2 (因为锐角舍弃负值)
cosβ=1/2
cos²α=2/3sin²β=3/4*2/3=1/2
cosα=(根号2)/2赞同0| 评论(3)