Question

已知函数y=x²，（-2≤x≤a），其中a≥-2，求该函数的最大值和最小值，

并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值. 询详解

Answer 1

对a分类，∵抛物线的对称轴是y轴
∴当-2≤a<0时,y有最大值4，此时X=-2，最小值a²,此时x=a。
当0≤a<2时,y有最大值4，此时X=-2，最小值0,此时x=0。
当a≥2时,y最大值a²,此时x=a，最小值0，此时X=0

追问

对于-2≤a<0，为什么不能是≤0？0≤a<2，为什么不能是≤2？

追答

根据分类的原则是：不重复，不遗漏，a=0已经在第二个分类项，所以不能再放在第一分类项，而且这样的最值刚好可以取。

追问

那在第一个分类项改作“-2≤a≤0”第二个分类项改作“0＜a≤2”这样不行么？

追答

也行

追问

但是为什么我们老师说第一项只能是＜0，不能是≤0？

追答

因为这样的话最值不好取，有一个最值就取不到了，但这样不违背原则，为了叙述方便所以只能去<0

追问

为什么说“因为这样的话最值不好取，有一个最值就取不到了”

追答

对呀

追问

为什么？解释能详细些么？

Answer 2

分三种情况讨论
1）
当a≤0时，
函数在【-2，a】上单调减，y(MAX)=4 y(min)=a^2
2)
当0<a≤2时，函数在【-2，a】先减后增，并且增区间长度不多于减区间长度，所以
y(M)=4 , y(m)=0
3)
当a＞2时，右端点值大于左端点值，y(min)=0; y(MAX)=a^2

Answer 3

画出函数图象可知y在负无穷到0区间内单调递减 在0到正无穷区间内单调递增
所以分类讨论
1.a属于（-2,0）（左边开区间 右边闭区间）最大值4 x=-2 最小值a^2 x=a
2.a属于（0,2）（左边闭区间 右边开区间）最大值4 x=-2 最小值0 x=0
3.a=2 最大值4 x=2，-2 最小值0 x=0
4.a属于（2，正无穷）（左边开区间）最大值a^2 x=a 最小值0 x=0

Answer 4

对a分类，-2<=a<0,最大值4，X=-2，最小值a2,x=a。
0<=a<2,最大值4，X=-2，最小值0,x=0。
a>=2,最大值a2,x=a，最小值0，X=0

追问

对于-2<=a<0，为什么不能是≤0？

追答

都可以的，一样的这里没关系

追问

但是我们老师说只能是“-2<=a<0”不能是≤0，这是为什么？

追答

这样更加清楚，因为a=0是个特殊情况

Answer 5

第一个分类项改作“-2≤a≤0”第二个分类项改作“0＜a≤2”,在第二个分类项中就不存在最小值了

追问

没有最小值有什么关系呢？第一项原来那样不也是没有最小值了么？