Question

这是一道数学题，请大家帮帮忙！谢谢！！！

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是AC边上的中点，AD⊥BM交BC于点D，交BM于点E。求证：∠AMB=∠DMC。

Answer 1

 

作∠BAC的平分线交BM于N，

∵AE⊥BM，BA⊥AC，

∴∠ABN=∠CAE，

∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，

∴△BAN≌△ACD．

∴AN=CD，

∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC 

∴△NAM≌△DCM，

∴∠AMB=∠CMD．

 

追问

为什么∠ABN=∠CAE?

Answer 2

你自己画好图从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知，但在分析中可以“当作已知”来考虑，以便寻找思路)，我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等！为此，只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及条件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．

Answer 3

只需证角BAD=角CMD

从而只需证三角形BAD相似于三角形CMD

只需证BD/CD=AB/CM=2

将原图补成正方形 如下

显然BD/DC=AB/CF=2

问题解决