Question

在RT三角形ABC中，AB=BC=5，角B=90度，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角形绕点O

旋转，三角板的两直角边分别交AB,BC或延长线与E,F两点。（1）三角板绕O旋转，三角形OFC是否能成等腰直角三角形？若能，之处所有情况（即给出三角形OFC是等腰直角三角形时BF的长）若不能，说理由（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处，当AP:AC=1:4时，PE和PF有怎么样的数量关系？证明的返现的结论

Answer 1

解：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，

第一种情况：当F为BC的中点时，

∵O点为AC的中点，

∴OF∥AB，

∴CF=OF=2.5

∵AB=BC=5，

∴BF=2.5

第二种情况：当B与F重合时，

BF=0；

 

（2）如图1，连接OB，

∵由（1）的结论可知，BO=OC，

∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，

∴△OEB≌△OFC，

∴OE=OF．

 

（3）如图3，

过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，

∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，

∴∠EPM=∠FPN，

∵∠AMP=∠FNP=90°，

∴△PNF∽△PME，

∴PM：PN=PE：PF，

∵△APM和△PNC为等腰直角三角形

∴△APM∽△PNC，

 

∴PM：PN=AP：PC，

∵PA：AC=1：4，

∴PE：PF=1：3．