Question

高数，关于等价无穷小 的替换问题

1。lim（x趋近0）1/(1-cosx) + 1/tanx
请问这里的tanx, (1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?
2。lim（x趋近无穷大）[e/(1+1/x)^x]^x
这里的(1+1/x)^x可以用e代替吗？如果不能，为什么？
谢谢

Answer 1

两个问题实际上是同一个问题。想等价替换，必须满足条件：
是以因子形式出项的量，注意，是相对整个表达式是以因子形式出现的，
而不是单独的一部分是因子形式的。
比如第一题，1－cosx在第一部分中是因子，但相对整个表达式不是因子，
因此不能等价替换。当然，如果写成
lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx，1－cosx是以因子出现的，可以替换。
当然，这样做是不对的，原因是不能写成上面这种形式。
正确做法是先通分，再用洛必达法则或Taylor展式。
第二题类似，(1+1/x)^x相对整个表达式不是因子，因此不能等价替换。
正确做法是：先取对数，然后用洛必达法则或Taylor展式，建议用
Taylor展式。取对数后，
lim x*(1－xln(1+1/x))
＝lim x*(1－x【1/x－1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)
＝lim x*(1/2x+小o(1/x))
＝1/2，
因此原极限是e^(1/2)。

追问

我还有两个疑问哦~

1.lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx，1－cosx是以因子出现的，可以替换。
当然，这样做是不对的，原因是不能写成上面这种形式。
请问为什么不能写成这种形式呢？limf（x）+g（x）不是等于lim f（x）+ lim g（x）吗？

2.第二题中的并非是等价无穷小替换，而是两个重要极限之一lim（x趋近无穷大）(1+1/x)^x=e，
这也不行吗？

谢谢你~

追答

1、lim f(x)+g(x)=lim f(x)+lim g(x)有前提，条件是lim f(x)和lim g(x)都存在才行。本题不满足。
2、不行。只要不是因子的就不行。

Answer 2

第一，能，因为是整体，可以进行替换
第二，不能，不能忽略了里面和外面的x同时趋于0，若是先把里面的换成e，成为e^x，则表明你先把里面的x趋于无穷而保持外面的x不变，再把外面的x趋于无穷，这样是错误的。两个x需要同时变化

Answer 3

ddddd